\(\dfrac{4}{3}\)

cmr...">

K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
20 tháng 9 2019

Đáp án đúng là D

20 tháng 9 2019

Thank you

AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 3 2018

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^2+y^3\geq x^3+y^4\)

\(\Rightarrow x^2+y^3+y^2\geq x^3+y^4+y^2\geq x^3+2\sqrt{y^6}\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^3+y^2\geq x^3+2y^3\Leftrightarrow x^2+y^2\geq x^3+y^3(1)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow (x^2+y^2)(x+y)\geq (x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2\)

\(\Leftrightarrow x+y\geq x^2+y^2(3)\)

Theo Bunhiacopxky: \((x^2+y^2)(1+1)\geq (x+y)^2(4)\)

Từ \((3); (4)\Rightarrow x+y\geq \frac{(x+y)^2}{2}\Rightarrow x+y\leq 2\)

Do đó: \(x^3+y^3\leq x^2+y^2\leq x+y\leq 2\Rightarrow \) đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$

11 tháng 8 2017

Câu hỏi của Đức Huy ABC - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

11 tháng 8 2017

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

\(VT\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2.y^2.z^2}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}=3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)

Ta có: xyz=1 và x,y,z >0

\(\Rightarrow x\le1\Rightarrow x+1\le2\Rightarrow\dfrac{1}{x+1}\ge\dfrac{1}{2}\)

Tương tự \(\dfrac{1}{y+1}\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x+1}.\dfrac{1}{y+1}.\dfrac{1}{z+1}}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1

15 tháng 5 2017

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{4}}=x\)

Tượng tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z+1}{4}\ge y\\\dfrac{z^2}{x+1}+\dfrac{x+1}{4}\ge z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}+\dfrac{x+y+z}{4}+\dfrac{3}{4}\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\dfrac{3}{4}\) (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\ge\dfrac{9}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{2}=1,5\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge1,5\) (đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)

15 tháng 5 2017

Sửa: =>\(\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\dfrac{3}{4}\left(1\right)\)

14 tháng 6 2017

\(BĐT\Leftrightarrow\dfrac{x}{y^3}+\dfrac{y}{z^3}+\dfrac{z}{x^3}\ge x+y+z\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{x}\\b=\dfrac{1}{y}\\c=\dfrac{1}{z}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow abc\ge1\)

\(BĐT\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

\(VT=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ac}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}=\dfrac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{ab+bc+ac}=ab+bc+ac\)

Ta có \(abc\ge1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}bc\ge\dfrac{1}{a}\\ab\ge\dfrac{1}{c}\\ac\ge\dfrac{1}{b}\end{matrix}\right.\Rightarrow bc+ac+ab\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\left(đpcm\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(1-y^3\right)}{y^3}+\dfrac{y\left(1-z^3\right)}{z^3}+\dfrac{z\left(1-x^3\right)}{x^3}\ge0\)