Question

[Ngô thừa ân]

cho x,y,z là ba số thực dương thõa mãn x+y+z=2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =\(\dfrac{x^2}{y+z}\) +\(\dfrac{y^2}{x+z}\) +\(\dfrac{z^2}{x+y}\)

Answer 1

[Rồng Đom Đóm]

Ta sẽ cm bđt:\(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Áp dụng bđt bunhia:

\(\left(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Áp dụng vào suy ra:

\(A=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{2}{2}=1\)

"="<=>x=y=z=\(\dfrac{2}{3}\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Cách khác:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{2}\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x\)

\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{y^2}{x+z}.\frac{x+z}{4}}=y\)

\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{z^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=z\)

Cộng theo vế và rút gọn ta có:

\(A+\frac{x+y+z}{2}\geq x+y+z\)

\(\Rightarrow A\geq \frac{x+y+z}{2}=1\)

Vậy \(A_{\min}=1\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)