BB
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 4 2021
\(P=xy+yz+zx-2xyz=\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)-2xyz\)
\(P=xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+xyz\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
Do vai trò của x;y;z là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(z=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow z\le\dfrac{1}{3}\)
\(P=xy\left(1-2z\right)+z\left(x+y\right)=xy\left(1-2z\right)+z\left(1-z\right)\)
\(P\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\left(1-2z\right)+z\left(1-z\right)=\dfrac{\left(1-z\right)^2\left(1-2z\right)}{4}+z\left(1-z\right)\)
\(P\le\dfrac{1+z^2-2z^3}{4}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{z.z.\left(1-2z\right)}{4}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{27.4}\left(z+z+1-2z\right)^3=\dfrac{7}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
PG
0
T
1
12 tháng 8 2018
ta có : \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)
\(=23+2\left(xy+yz+zx\right)=49\Rightarrow xy+yz+zx=13\)
rồi bn có gắn qui đồng nó thế vào là o ke :( mk qui vài mà nó dài quá thôi bỏ luôn
5 tháng 1 2019
câu này nằm trong đề thành phố của tỉnh nào đó hem nhớ nx Tuấn ml ạ
Y
19 tháng 6 2019
\(\left\{{}\begin{matrix}x+xy+y=1\\y+yz+z=3\\z+zx+x=7\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)=2\\y\left(z+1\right)+\left(z+1\right)=4\\z\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=8\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y+1\right)=2\\\left(y+1\right)\left(z+1\right)=4\\\left(z+1\right)\left(x+1\right)=8\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2=64\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=8\) ( do x,y,z không âm )
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y+1=1\\z+1=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\\z=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=3^{2017}+1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 7 2020
Lời giải:
$xy+yz+xz=3xyz$
$\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$
Đặt $\left(\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}\right)=(a,b,c)$ thì bài toán trở thành:
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$
---------------------------------
Thật vậy:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{2}{ab}$
$\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{2}{bc}$
$\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\geq \frac{2}{ac}$
Cộng theo vế và thu gọn: $\sum \frac{1}{a^2}\geq \sum \frac{1}{ab}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$
Ta cần chứng minh $\frac{3}{abc}\geq a^2+b^2+c^2$ thì bài toán sẽ được chứng minh.
$\Leftrightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leq 3(*)$
Theo hệ quả BĐT AM-GM: $3abc=abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ac)^2}{3}$
$\Rightarrow abc\leq \frac{(ab+bc+ac)^2}{9}$
$\Rightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)^2}{9}$
Mà:
$(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)^2\leq \left(\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+ab+bc+ac}{3}\right)^3=\frac{(a+b+c)^6}{27}=27$ theo AM-GM
Do đó: $abc(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{27}{9}=3$. BĐT $(*)$ được CM
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 6 2020
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{2007}{xy+yz+zx}\)
\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{2007}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)
\(P\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{6021}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{6030}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{6030}{3^2}=670\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
OV
16 tháng 6 2020
Áp dụng BĐT Côsi dưới dạng engel, ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)
⇒\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{x+y+z}\) = 9
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z