Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=2; ta có : \(\sqrt[3]{8^x.8^x}=\sqrt[3]{64^x}=4^x\)
\(8^x+8^x+8^2\ge3\sqrt[3]{8^x.8^x.8^2}=12.4^x\)
\(8^y+8^y+8^2\ge12.4^y\)
\(8^z+8^z+8^2\ge12.4^z\)
Cộng 3 vế BĐT trên => đpcm
Cách làm của bạn đúng nhưng cộng 3 vế của BĐT bạn chưa thể suy ra ĐPCM được.
Cộng 3 vế:
$\Rightarrow 2(8^x+8^y+8^z)+3.8^2\geq 3(4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1})(1)$
Mà theo BĐT AM-GM:
$8^x+8^y+8^z\geq 3\sqrt[3]{8^{x}.8^y.8^z}=3\sqrt[3]{8^{x+y+z}}=3.8^2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow 3(8^x+8^y+8^z)\geq 2(8^x+8^y+8^z)+3.8^2\geq 3(4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1})$
$\Rightarrow 8^x+8^y+8^z\geq 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}$
(đpcm)
\(\frac{x^5}{y^4}+\frac{x^5}{y^4}+y+y+y\ge5\sqrt[5]{\frac{x^{10}y^3}{y^8}}=\frac{5x^2}{y}\)
Tương tự: \(\frac{2y^5}{z^4}+3z\ge\frac{5y^2}{z}\) ; \(\frac{2z^5}{x^4}+3x\ge\frac{5z^2}{x}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{x^5}{y^4}+\frac{y^5}{z^4}+\frac{z^5}{x^4}\right)+3\left(x+y+z\right)\ge5\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)\ge5\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{x^5}{y^4}+\frac{y^5}{z^4}+\frac{z^5}{x^4}\right)\ge2\left(x+y+z\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{x^5}{y^4}+\frac{y^5}{z^4}+\frac{z^5}{x^4}\ge1\)
Dấu "=" xay ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
1.
\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá
2.
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
3.
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)
Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)
4.
ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)
\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)
\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)
Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)
\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)
\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}=\frac{x^2}{x^6}+\frac{1}{y^4}\ge\frac{\left(x+1\right)^2}{x^6+y^4}\ge\frac{4x}{x^6+y^4}\)
tương tự
\(\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\ge\frac{4y}{y^6+z^4}\);
\(\frac{1}{z^4}+\frac{1}{x^4}\ge\frac{4z}{z^6+x^4}\);
cộng vế với vế => đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Text
Áp dụng BĐT AM-GM:
P\(\le\Sigma\frac{x}{2\sqrt{x}}=\frac{x+y+z}{2}=1\)
Pmax=1 khi x=y=z=2/3.
Sửa đề:
Chứng minh rằng:
\(8x+8y+8z\le4^{x+1}+4^{y+1}+4^{y+2}\)
Ta có:
\(8x+8y+8z=8.\left(x+y+z\right)=8.6=48\)(1)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge3\sqrt[3]{4^{x+1}.4^{y+1}.4^{z+1}}\)
\(\Rightarrow4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge3\sqrt[3]{4^{x+y+z+3}}\)
\(\Rightarrow4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge3\sqrt[3]{4^{6+3}}\)
\(\Rightarrow4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge3\sqrt[3]{4^9}\)
\(\Rightarrow4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge3.64\)
\(\Rightarrow4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge192\)(2)
Dấu "=" sảy ra khi \(x=y=z=2\).
Từ (1) và (2) suy ra:
\(8x+8y+8z\le4^{x+1}+4^{y+1}+4^{y+2}\)(đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!
Đề gốc:\(8^x+8^y+8^z\ge4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\)