Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
áp dụng bđt schwarts ta có:
\(\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{2y+1}+\frac{1}{2z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2x+2y+2z+3}\ge\frac{9}{7}\)
\(\Rightarrow1-\frac{1}{2x+1}+1-\frac{1}{2y+1}+1-\frac{1}{2z+1}\le3-\frac{9}{7}\)
\(\Rightarrow\frac{2x}{2x+1}+\frac{2y}{2y+1}+\frac{2z}{2z+1}\le\frac{12}{7}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{2x+1}+\frac{y}{2y+1}+\frac{z}{2z+1}\le\frac{6}{7}\left(Q.E.D\right)\)
dấu = xảy ra khi x=y=z=2/3
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=p\\\sqrt{y}=q\\\sqrt{z}=r\end{cases}}\). Khi đó \(\hept{\begin{cases}p+q+r=1\\p,q,r>0\end{cases}}\)
và ta cần chứng minh \(\frac{pq}{\sqrt{p^2+q^2+2r^2}}+\frac{qr}{\sqrt{q^2+r^2+2p^2}}+\frac{rp}{\sqrt{r^2+p^2+2q^2}}\le\frac{1}{2}\)
Ta có: \(\frac{pq}{\sqrt{p^2+q^2+2r^2}}=\frac{2pq}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(p^2+q^2+2r^2\right)}}\)
\(\le\frac{2pq}{p+q+2r}\le\frac{1}{2}\left(\frac{pq}{p+r}+\frac{pq}{q+r}\right)\)(Theo BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT \(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\ge\frac{4}{u+v}\)) (1)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{qr}{\sqrt{q^2+r^2+2p^2}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{qr}{q+p}+\frac{qr}{r+p}\right)\)(2); \(\frac{rp}{\sqrt{r^2+p^2+2q^2}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{rp}{r+q}+\frac{rp}{p+q}\right)\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{pq}{\sqrt{p^2+q^2+2r^2}}+\frac{qr}{\sqrt{q^2+r^2+2p^2}}+\frac{rp}{\sqrt{r^2+p^2+2q^2}}\)\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{r\left(p+q\right)}{p+q}+\frac{p\left(q+r\right)}{q+r}+\frac{q\left(r+p\right)}{r+p}\right)=\frac{1}{2}\left(p+q+r\right)=\frac{1}{2}\)(Do p + q + r = 1)
Đẳng thức xảy ra khi \(p=q=r=\frac{1}{3}\)hay \(x=y=z=\frac{1}{9}\)
áp dụng bđt 1/a +1/b >= 4/(a+b) ta đc :....1/ (2x+y+z) <= 1/4(x+y)+1/4(x+z) ; 1/(2y+z+x)<=1/4(y+z)+1/4(x+y) ; 1/(2z+x+y)<=1/4(z+x)+1/4(z+y)
suy ra A (biểu thức đã cho ) <= 1/2(x+y) +1/2(y+z) +1/2(z+x)<= 1/8 . (1/x+1/y) +1/8. (1/y+1/z)+1/8(1/z+1/x) =1/8 . 2. (1/x+1/y+1/z)=1 (áp dụng lại bđt trên)...,suyra đpcm.
dấu ''='' xảy ra <=> x=y=z
Bài 1 :
Bât đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
( xy+yz + zx )(9 + x2y2 +z2y2 + x2z2 ) \(\ge\)36xyz
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
xy+ yz + zx \(\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\) ( 1)
Và 9 + x2y2 + z2y2 + x2z2 \(\ge12\sqrt[12]{x^4y^4z^4}\)
hay 9+ x2y2 + z2y2+ x2z2 \(\ge12\sqrt[3]{xyz}\) (2)
Do các vế đều dương ,từ (1) và (2) suy ra :
( xy + yz +zx )( 9+ x2y2 + z2y2 + x2z2 ) \(\ge36xyz\left(đpcm\right)\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =z = 1
Bài 2:
\(\hept{\begin{cases}a;b;c>0\\ab+bc+ca=1\end{cases}}\)
Có : \(\hept{\begin{cases}\sqrt{1+a^2}\ge\sqrt{2a}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}a\\\sqrt{1+b^2}\ge\sqrt{2b}\Rightarrow\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}b\\\sqrt{1+c^2}\ge\sqrt{2c}\Rightarrow\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}c\end{cases}}\)
=> \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c\right)\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
=> \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a =b =c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Áp dụng công thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x,y>0\right)\)
Ta có \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)\left(1\right)\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
(1)(2)(3) => \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
Bài này dùng Cauchy ngược dấu:
\(\Sigma\frac{2x^2}{x+y^2}=\Sigma\frac{2x\left(x+y^2\right)-2xy^2}{x+y^2}=2\left(x+y+z\right)-2.\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\)
Từ đây ta có thể quy bđt vế chứng minh: \(\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\le\frac{x+y+z}{2}\)
Ta có: \(VT\le\Sigma\frac{xy^2}{2\sqrt{xy^2}}=\Sigma\frac{\sqrt{xy.y}}{2}\le\frac{xy+yz+zx+x+y+z}{4}\)
Như vậy cần chứng minh: \(xy+yz+zx\le x+y+z\)
Ta có: \(VT=\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}\le x+y+z\)
Từ đây có đpcm:)
Ta có: \(\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{2y+z}+\frac{z}{2z+x}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{y}{4x+2y}+\frac{1}{2}-\frac{z}{4y+2z}+\frac{1}{2}-\frac{x}{4z+2x}\)
\(=\frac{3}{2}-\left(\frac{y^2}{4xy+2y^2}+\frac{z^2}{4yz+2z^2}+\frac{x^2}{4zx+2x^2}\right)\)
\(\le\frac{3}{2}-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2x^2+2y^2+2z^2+4xy+4yz+4zx}\)
\(=\frac{3}{2}-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\)