NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
1
LK
1
YN
17 tháng 10 2021
\(P=2.\left(x^3-y^3\right)+3.\left(x^2+y^2\right)\)
\(=2.\left(x-y\right).\left(x^2+xy+y^2\right)+3.\left(x^2+y^2\right)\)
Thay vào ta được
\(P=2.\left(-1\right).[\left(x^2-2xy+y^2\right)+3xy]+3.[\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy]\)
\(=-2.[\left(x-y\right)^2+3xy]+3.[\left(x-y\right)^2+2xy]\)
Thay vảo ta được
\(P=-2.[\left(-1\right)^2+3xy]+3.[\left(-1\right)^2+2xy]\)
\(=-2.\left(1+3xy\right)+3.\left(1+2xy\right)\)
\(=-2-6xy+3+6xy\)
\(=1\)
7 tháng 6 2020
a) x<y
<=> x.x<x.y
<=> x\(^2\)<xy
x<y
<=> x.y<y.y
<=>xy<y\(^2\)
b) áp dụng kết quả từ câu a và tính chất bắc cầu, ta có:
x\(^2\)<xy<y\(^2\)
<=> x\(^2\)<y\(^2\)
x\(^2\)<y\(^2\)
=> x\(^2\).y<y\(^2\).y
<=> x\(^2\)y<y\(^3\)(1)
x\(^2\)<y\(^2\)
=> x\(^2\).x<y\(^2\).x
<=> x\(^3\)<xy\(^2\)(2)
x<y
<=> x.xy<y.xy
<=> x\(^2\)y<xy\(^2\)(3)
Từ (1),(2) và (3) ta có
x\(^3\)<y\(^3\)
GD
1
23 tháng 10 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Cần chỉ ra \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)
Ta có : \(x+y\le1\)
=> \(\left(x+y\right)^2\le1\)
=> \(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge1\)( nghịch đảo )
=> \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( nhân 4 vào cả hai vế )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2
Vì x2 + y2 =1 \(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x^2< =1\\y^2< =1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< =1\\y< =1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3< =x^2\\y^3< =y^2\end{cases}}\)(vì x,y>=0)
\(\Rightarrow x^3+y^3< =x^2+y^2=1\) (1)
Áp dụng BDT Cô-si 3 số , ta có :
\(x^3+x^3+\frac{1}{2\sqrt{2}}>=3\sqrt[3]{x^3.x^3.\frac{1}{2\sqrt{2}}}=\frac{3x^2}{\sqrt{2}}\)
\(y^3+y^3+\frac{1}{2\sqrt{2}}>=3\sqrt[3]{y^3.y^3.\frac{1}{2\sqrt{2}}}=\frac{3y^2}{\sqrt{2}}\)
Cộng 2 vế , ta có :
\(2\left(x^3+y^3\right)+\frac{2}{2\sqrt{2}}>=\left(x^2+y^2\right)\frac{3}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow2\left(x^3+y^3\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}>=\frac{3}{\sqrt{2}}\) ( Vì \(x^2+y^2=1\))
\(\Rightarrow2\left(x^3+y^3\right)>=\frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x^3+y^3>=\frac{1}{\sqrt{2}}\) (2)
Từ (1) và (2) => Điều cần chứng minh .