Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2. Áp dụng BĐT Cauchy dưới dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+4+9\right)^2}{x+y+z}=196\)
⇒ \(P_{MIN}=196."="\) ⇔ \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Ta có \(2x^2+2xy+y^2-2x\le8\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2\le9\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le9-\left(x-1\right)^2\le9\)
\(\Rightarrow x+y\le3\)
\(P=\frac{2}{x}+2x+\frac{4}{y}+y-4\left(x+y\right)\ge2\sqrt{\frac{4x}{x}}+2\sqrt{\frac{4y}{y}}-4.3=-4\)
\(\Rightarrow P_{min}=-4\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{x+y}{y}.\sqrt{\dfrac{x^3y^2+2x^3y^2+xy^4}{x^2+2xy+y^2}}\\ =\dfrac{x+y}{y}.\sqrt{\dfrac{3x^3y^2+xy^4}{x^2+2xy+y^2}}\\ =\dfrac{x+y}{y}.\dfrac{\sqrt{3x^3y^2+xy^4}}{\sqrt{x^2+2xy+y^2}}\\ =\dfrac{x+y}{y}.\dfrac{\sqrt{3x^3y^2+xy^4}}{\sqrt{\left(x+y\right)^2}}\\ =\dfrac{x+y}{y}.\dfrac{\sqrt{3x^3y^2+xy^4}}{x+y}\\ =\dfrac{1}{y}.\sqrt{3x^3y^2+xy^4}\)
Lời giải:
Ta có:
\(P=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{2x+y}{xy}+\frac{3}{2x+y}=\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(2x+y\geq 2\sqrt{2xy}=2\sqrt{4}=4\)
Ta có:
\(P=\frac{2x+y}{2}+\frac{8}{2x+y}-\frac{5}{2x+y}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{2x+y}{2}+\frac{8}{2x+y}\geq 2\sqrt{4}=4\) (1)
\(2x+y\geq 4\Rightarrow \frac{5}{2x+y}\leq \frac{5}{4}\Rightarrow -\frac{5}{2x+y}\geq \frac{-5}{4}\) (2)
Từ \((1);(2)\Rightarrow P\geq 4+\frac{-5}{4}=\frac{11}{4}\)
Vậy P min \(=\frac{11}{4}\Leftrightarrow (x,y)=(1,2 )\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(x^2+9\geq 2\sqrt{9x^2}=6x\)
\(\Rightarrow S\geq 6x-x+3y+\frac{9}{x}+\frac{1}{y}=5x+3y+\frac{9}{x}+\frac{1}{y}(1)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:
\(x+\frac{9}{x}\geq 2\sqrt{9}=6\)
\(y+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{1}=2\)
\(4x+2y=2(2x+y)\geq 14\)
Cộng theo vế: \(\Rightarrow 5x+3y+\frac{9}{x}+\frac{1}{y}\geq 22(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow S\geq 22\Leftrightarrow S_{\min}=22\)
Dấu bằng xảy ra khi $x=3,y=1$
Đặt \(\hept{\begin{cases}2x=a\left(a>0\right)\\3y=b\left(b>0\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2x+3y=a+b\le2,x.y=\frac{ab}{6}\)
\(\Rightarrow P=\frac{4}{a^2+b^2}+\frac{9}{\frac{ab}{6}}=\frac{4}{a^2+b^2}\ne\frac{54}{ab}\)
Vì \(a>0,b>0\)
Nên áp dụng BĐT cô-si ta có:\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Mà \(a+b\le2\Rightarrow2\sqrt{ab}\le2\Rightarrow\sqrt{ab}\le1\Rightarrow ab\le1\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)với x > 0 , y > 0
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge1\)
\(\Rightarrow\frac{4}{a^2+b^2}+\frac{4}{2ab}\ge4\)
\(\Rightarrow P=\frac{4}{a^2+b^2}+\frac{4}{2ab}+\frac{52}{ab}\)
\(P\ge4+52=56\)
\(\Rightarrow MinP=56\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=2\\a.b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{a=b=1\Leftrightarrow2x=3y=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{3}}\)
Ta có: \(\left(x-1\right)^2+\left(x+y\right)^2\le9\Rightarrow x+y\le3\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(\dfrac{2}{x}+2x\ge2\sqrt{\dfrac{2}{x}.2x}=4;\dfrac{4}{y}+y\ge2\sqrt{\dfrac{4}{y}.y}=4\).
Do đó \(\dfrac{2}{x}\ge4-2x;\dfrac{4}{y}\ge4-y\)
\(\Rightarrow P\ge8-4\left(x+y\right)\ge-4\). (do \(x+y\le3\)).
Vậy...
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1; y = 2.
Đỉnh cao pạn ưi