K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
9 tháng 8 2017
2) Ta có:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Schwarz:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà x+y=1 nên suy ra:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge4\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\ge8\)
=>đpcm.
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=1/2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq \frac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1^2}=4\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
5 tháng 8 2016
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
5 tháng 8 2016
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
TA
19 tháng 5 2017
1/ Sửa đề: \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)
Với mọi x, y, z ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
Do đó dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = y = z
3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
TN
13 tháng 10 2016
1)đề thiếu
2)\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}\)\(=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
\(x>y\Rightarrow x-y>0\).Áp dụng Bđt Côsi ta có:
\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\cdot\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
Đpcm
3)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Đpcm
TD
2
10 tháng 10 2019
Đề sai rồi kìa:)
Cho x = - 1; y = -1 có: x.y = 1 và x + y = -2.
x.y > x+y mà x+y =-2 <4.
Nhìn lại đề bài nhé!
10 tháng 10 2019
Vậy hả mình lấy bài trên mạng nên có khi sai. Cảm ơn bạn nhé
HH
2
25 tháng 7 2018
\(VT=\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\)
\(\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\)
\(=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}>4\)
25 tháng 7 2018
Cách khác.
Ta có: \(A=\dfrac{1}{x\left(x+y\right)}+\dfrac{1}{y\left(x+y\right)}=\dfrac{1}{x+y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(=\dfrac{1}{x+y}.\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{xy}\)
Áp dụng BĐT cho các số x,y >0 , ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\)
Và x+y \(\le\)1 \(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\) \(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4\)
Dấu ''='' xảy ra khi x = y =0,5
PP
Cho x,y,z>0 thỏa xy+yz+zx=1.Chứng minh rằng:
\(\Sigma\frac{1}{xy}\ge3+\Sigma\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\)
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 10 2020
Ta có:
\(VT=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{xy+yz+zx}{xy}+\frac{xy+yz+zx}{yz}+\frac{xy+yz+zx}{zx}\)
\(VT=3+\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{x\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y\left(x+z\right)}{zx}\) (1)
Mặt khác:
\(\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{x\left(y+z\right)}{yz}\ge2\sqrt{\frac{zx\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{xy^2z}}=2\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{y^2}}=\frac{2\sqrt{y^2+xy+yz+zx}}{y}=\frac{2\sqrt{y^2+1}}{y}\)
Tương tự: \(\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(x+z\right)}{zx}\ge\frac{2\sqrt{x^2+1}}{x}\) ; \(\frac{x\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y\left(x+z\right)}{zx}\ge\frac{2\sqrt{z^2+1}}{z}\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{x\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y\left(x+z\right)}{xz}\ge\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+\frac{\sqrt{y^2+1}}{y}+\frac{\sqrt{z^2+1}}{z}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=...\)
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=\frac{2}{2xy}+\frac{2}{x^2+y^2}\ge\frac{2.4}{2xy+x^2+y^2}=\frac{8}{\left(x+y\right)^2}=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)