Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\). Áp dụng cho biểu thức A, suy ra \(A\ge\dfrac{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\right)^4}{8}\). Ta tìm GTNN của \(P=x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\). Ta có
\(P=x^2+\dfrac{1}{16x^2}+y^2+\dfrac{1}{16y^2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+2\)
\(P\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{16x^2}}+2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{16y^2}}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\right)+2\)
\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16}.\left(\dfrac{4^2}{2}\right)+2\) \(=\dfrac{21}{2}\). Do đó \(P\ge\dfrac{21}{2}\) \(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\). Vậy GTNN của A là \(\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\), ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
Gợi ý: \(\dfrac{a^4+b^4}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^4\)
Nếu tồn tại 1 số bằng 0 \(\Rightarrow P=1\)
Nếu x;y đều dương:
\(P=\dfrac{x^2}{xy+x}+\dfrac{y^2}{xy+y}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2xy+x+y}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2+x+y}=\dfrac{2}{3}\)
\(P_{min}=\dfrac{2}{3}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Bài này có thể tìm được cả max:
\(\left\{{}\begin{matrix}y+1\ge1\Rightarrow\dfrac{x}{y+1}\le x\\x+1\ge1\Rightarrow\dfrac{y}{x+1}\le y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{x}{y+1}+\dfrac{y}{x+1}\le x+y=1\)
\(P_{max}=1\) khi \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right)\) và hoán vị
\(P=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}\ge\dfrac{4}{\dfrac{\left(y+x+z\right)^2}{4}}=4\)
\(P_{min}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)\)
\(A\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{x+y}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)
Tại sao \(A\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{x+y}=9\) vậy bạn?