Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo giả thiết, ta có: \(\frac{x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}=1\Leftrightarrow\frac{2y}{1+y}=1-\frac{x}{1+x}=\frac{1}{x+1}\)\(\Leftrightarrow2y\left(x+1\right)=y+1\Leftrightarrow2xy^2=-y^2+y=-\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow xy^2\le\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=a>0\\y+1=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a-1\right)-2\left(b-1\right)\ge1\)
\(\Rightarrow a\ge2b\Rightarrow\dfrac{a}{b}\ge2\)
\(A=\dfrac{\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\)
\(A=\left(\dfrac{a}{4b}+\dfrac{b}{a}\right)+\dfrac{3}{4}.\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{4ab}}+\dfrac{3}{4}.2=\dfrac{5}{2}\)
\(A_{min}=\dfrac{5}{2}\) khi \(a=2b\) hay \(x+1=2\left(y+1\right)\)
Đặt \(a=3x^2+xy+2y^2=>0\le a\le2\)
xét 2 TH
+) Nếu a=0 thì x=y=0 nên P =0
+) nếu \(a\ne0\)thì x hoặc y phải khác 0
xét biểu thức
\(\frac{P}{a}=\frac{x^2+3xy-y^2}{3x^2+xy+2y^2}\)
nếu y=0 thì \(x\ne0=>\frac{P}{a}=\frac{1}{3}< P=\frac{a}{3}\le\frac{2}{3}\)
-xét TH y khác 0 , khi đó đặt \(t=\frac{x}{y}\), ta có
\(\frac{P}{a}=\frac{x^2+3xy-y^2}{3x^2+xy+2y^2}=\frac{t^2+3t-1}{3t^2+t+2}\)
gọi m là một giá trị \(\frac{P}{a}\), khi đó PT sau có nghiệm
\(m=\frac{t^2+3t-1}{3t^2+t+2}\)
\(=>\left(3m-1\right)t^2+\left(m-3\right)t+2m+1=0\left(1\right)\)
nếu \(m=\frac{1}{3}\left(thì\right)t=\frac{5}{8}.Nếu\left(m\ne\frac{1}{3}\right)thì\left(1\right)\)là PT bậc 2 có nghiệm khi zà chỉ khi
\(\left(m-3\right)^2-4\left(3m-1\right)\left(2m+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow23m^2+10m-13\le0\Leftrightarrow m\le\frac{13}{23}=>-1\le\frac{P}{a}\le\frac{26}{23}\)
mà a>0 nên \(-2\le-a\le P\le\frac{13}{23}a\le\frac{26}{23}\)
kết hợp những TH zừa xét lại ta có
\(-2\le P\le\frac{26}{23}\)
làm tiếp nè , mình phải làm tách ra không sợ nó lag
\(P=-2\)khi zà chỉ khi
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{3-m}{2\left(3m-1\right)}=-\frac{1}{2}\\3x^2+xy+2y^2=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=-2x\\3x^2-2x^2+8x^2=2\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=-2x\\x=\pm\frac{\sqrt{2}}{3}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{2}}{3}\\y=\mp\frac{2\sqrt{2}}{3}\end{cases}}}\)
zậy MinP=-2 khi ....
+) MaxP nhé
\(P=\frac{26}{13}\)khi
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{3-m}{2\left(3m-1\right)}=\frac{7}{4}\\3x^2+xy+2y^2=2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{7}{4}y\\3\left(\frac{7}{4}y\right)+\frac{7}{4}y^2+2y^2=2\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{7}{4}y\\y=\pm\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{23}}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm\frac{7}{3}\sqrt{\frac{2}{23}}\\y=\pm\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{23}}\end{cases}}}\)
zậy ....