Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(P=\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{3xy}+\frac{1}{3yz}+\frac{1}{3zx}\right)+\frac{5}{12}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3xy+3yz+3zx}+\frac{5}{12}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+yz+zx}\)
\(=\frac{16}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{5}{12}.\frac{9}{xy+yz+zx}\)
\(\ge\frac{16}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}+\frac{5}{12}.\frac{9}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{93}{4\left(x+y+z\right)^2}=\frac{93}{4\left(2019\right)^2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2019/3.
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
Ta co A = 2(x+y)+\(\frac{2}{x+y}\)\(\ge2\sqrt{2\left(x+y\right).\frac{2}{x+y}}\)=4 khi x=y =\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)
b) Ta có \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}\)(BĐT Schwarz)
\(=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y+z}=\frac{y^2}{z+x}=\frac{z^2}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
a) Có \(P=1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(BĐT Bunyakovsky)
\(=\sqrt{3.\left[2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\right]}\)
\(\le\sqrt{3\left[4+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3\left(4+\frac{4}{3}\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3
\(Q=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{1+x^2}\)
Ta có \(\frac{x}{1+y^2}=\frac{x\left(1+y^2\right)-xy^2}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}\)
Tương tự \(\frac{y}{1+z^2}\ge y-\frac{yz}{2}\)
\(\frac{z}{1+x^2}\ge z-\frac{zx}{2}\)
Lại có \(\frac{1}{1+y^2}=\frac{y^2+1-y^2}{1+y^2}=1-\frac{y^2}{1+y^2}\ge1-\frac{y^2}{2y}=1-\frac{y}{2}\)
Tương tự \(\frac{1}{1+x^2}\ge1-\frac{x}{2}\)
\(\frac{1}{1+z^2}\ge1-\frac{z}{2}\)
Cộng từng vế các bđt trên ta được
\(Q\ge\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}+3-\frac{x+y+z}{2}\)\(=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Dự đoán điểm rơi tại x = y = 2/3 ta sẽ làm như sau
\(A=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(=\left(\frac{9x}{4}+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{9y}{4}+\frac{1}{y}\right)-\frac{5}{4}\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{9x}{4x}}+2\sqrt{\frac{9y}{4y}}-\frac{5}{4}.\frac{4}{3}=\frac{13}{3}\)
Dấu "=" tại x = y = 2/3
Cách khác là UCT (không hay như cách kia đâu=)
Ta sẽ chứng minh: \(x+\frac{1}{x}\ge-\frac{5}{4}x+3\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(3x-2\right)^2}{4x}\ge0\) (đúng)
Thiết lập tương tự BĐT còn lại và cộng theo vế ta được: \(VT\ge-\frac{5}{4}\left(x+y\right)+6\ge-\frac{5}{4}.\frac{4}{3}+6=\frac{13}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi 3x - 2 = 3y - 2 = 0 tức là x = y = 2/3
Lời giải
Dư đoán xảy ra cực trị tại \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Ta biến đổi P như sau: \(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)+\left(2y+\frac{1}{y}\right)-\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{2x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{2y.\frac{1}{y}}-\left(x+y\right)\)\(=4\sqrt{2}-\left(x+y\right)\)
\(=4\sqrt{2}-\sqrt{2}\left(\sqrt{x^2.\frac{1}{2}}+\sqrt{y^2.\frac{1}{2}}\right)\)
\(\ge4\sqrt{2}-\sqrt{2}\left(\frac{x^2+y^2+1}{2}\right)=4\sqrt{2}-1\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)
Vậy ...
Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+1=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+1=5\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
Đúng ko biết !?