Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
@AZM: Thật không may dấu "=" không xảy ra bạn nhé :))
Ta có:\(S=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)
Đặt \(a=\frac{x^2+y^2}{xy}\ge\frac{2\sqrt{x^2y^2}}{xy}=2\)
Khi đó:\(S=a+\frac{1}{a}=\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{a}\right)+\frac{3a}{4}\ge2\sqrt{\frac{a}{4}\cdot\frac{1}{a}}+\frac{3\cdot2}{4}=\frac{5}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y
Bài làm:
Ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\ge2\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2\right)}{xy}.\frac{xy}{\left(x^2+y^2\right)}}=2.1=2\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y\)
Vậy GTNN biểu thức là 2 khi \(x=y\)
Học tốt!!!!
\(Q=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy+2016=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+\frac{5}{4xy}+2016\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\). Dấu "=" khi a=b (bạn tự chứng minh)
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)
Vì x>0, y>0 nên xy>0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương
\(\frac{1}{4xy}+4xy\ge2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}=2\)
Ta có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{5}{4xy}\ge5\)
Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2xy\\\frac{1}{4xy}=4xy\\x=y\end{cases}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow Q\ge4+2+5+2016=2027\)
Vậy \(minQ=2027\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(Q=\frac{x^2+1,2xy+y^2}{x-y}=\frac{x^2-2xy+y^2+3,2xy}{x-y}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)^2+48}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2}{x-y}+\frac{48}{x-y}\)
\(=x-y+\frac{48}{x-y}\ge2\sqrt{48}=8\sqrt{3}\)
Với x,y,z dương và x+y+z=1,ta có
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}\)
\(=\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}\right)+\frac{21}{3\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{21}{\left(x+y+z\right)^2}=30\)
Dấu"=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
em viết nhầm đề nha.M = \(\frac{y}{\sqrt{xy}-x}+\frac{x}{\sqrt{xy}+y}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\)mới đúng
\(x^2+xy+y^2=\left(x+y\right)^2-xy\ge\left(x+y\right)^2-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
(Áp dụng bất đẳng thức \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{y^2+yz+z^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(y+z\right);\sqrt{z^2+zx+x^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(z+x\right)\)
Suy ra \(M\ge\sqrt{3}\left(x+y+z\right)=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(P=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+x+y\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\frac{4xy}{2xy}=\frac{4\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2=6\)
"=" xảy ra <=> x = y.
\(\)