CD
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NM
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 6 2024
1/
Xét hiệu $(x+1)^2-4x^2=(x+1)^2-(2x)^2=(x+1-2x)(x+1+2x)$
$=(1-x)(3x+1)$
Do $x\in (0;1)$ nên $1-x>0; 3x+1>0$
$\Rightarrow (x+1)^2-4x^2>0\Rightarrow (x+1)^2> 4x^2$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 6 2024
2/
Xét hiệu:
$(1+x+y)^2-4(x^2+y^2)=x^2+y^2+1+2x+2y+2xy-4x^2-4y^2$
$=1+2x+2y+2xy-3x^2-3y^2$
$=2x(1-x)+2y(1-y)+1+2xy-x^2-y^2$
Vì $x,y\in (0;1)$ nên:
$2x(1-x)>0$
$2y(1-y)>0$
$(x-1)(y-1)>0\Rightarrow xy+1> x+y=x.1+y.1> x^2+y^2$
$\Rightarrow 1+xy-x^2-y^2>0$
$\Rightarrow 1+2xy-x^2-y^2>0$
Suy ra: $2x(1-x)+2y(1-y)+1+2xy-x^2-y^2>0$
$\Rightarrow (1+x+y)^2> 4(x^2+y^2)$
PT
0
HD
0
HL
0
NH
0
12 tháng 3 2018
Có bất đẳng thức \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)
Dấu bằng xảy ra khi x = y
Áp dụng bất đẳng thức \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)vào bài toán ta có:
\(x^4+y^4\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2/2=\left[\frac{2^2}{2}\right]^2/2=2\left(đpcm\right)\)
P/s cậu hiểu không sợ cái phần áp dụng bất đẳng thức cậu không hiểu
\(Gt\Rightarrow\left(x+y\right)^2=4\Rightarrow x^2+2xy+y^2=4\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)
\(\Rightarrow x^2y^2\left(x^2+y^2\right)=x^2y^2\left(4-2xy\right)\)
Ta cần CM:\(x^2y^2\left(4-2xy\right)\le2\Leftrightarrow x^2y^2\left(2-1xy\right)\le1\)
\(\Leftrightarrow x^3y^3-2x^2y^2+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x^2y^2-xy-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left[xy\left(xy-1\right)-1\right]\ge0\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta lại có \(2=x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow xy\le1\Rightarrow xy-1\le0\)
\(xy>0\Rightarrow xy\left(xy-1\right)\le0\Rightarrow xy\left(xy-1\right)-1\le-1\)
\(\Rightarrow\left(xy-1\right)\left[xy\left(xy-1\right)-1\right]\ge0\)luôn đúng do tích của 2 số âm thì luôn\(\ge\)0
Dấu " = " xảy ra <=> xy = 1 ; x = y và x + y = 2 <=> x = y = 1