NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
11 tháng 9 2015
Giả thiết cho ta \(\left(x^2+y^2\right)^2+x^2+2y^2=3.\) Đặt \(t=x^2+y^2\) (ta có \(t\ge0\)).
Giá trị lớn nhất: Từ giả thiết ta suy ra \(t^2+t=3-y^2\le3\to\left(t+\frac{1}{2}\right)^2\le3+\frac{1}{4}\to t\le\frac{\sqrt{13}-1}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ \(y=0,x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{13}-1}{2}}\). Vậy giá trị lớn nhất của \(B=t\) là \(\frac{\sqrt{13}-1}{2}.\)
Giá trị bé nhất: Từ giả thiết \(t^2+2t=3+x^2\ge3\to\left(t+1\right)^2\ge4\to t+1\ge2\to t\ge1.\) Dấu bằng xảy ra khi \(x=0,y=\pm1\). Vậy giá trị bé nhất của \(B=t\) là \(1.\)
PT
0
LH
0
TV
0
KH
3
3 tháng 6 2016
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1+2\left(ab+bc+ca\right).\)
\(\Rightarrow A=\left(ab+bc+ca\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\)với mọi a,b,c
Vậy A nhỏ nhất bằng -1/2 khi a+b+c =0
B
29 tháng 5 2022
Ta có : \((x-\dfrac{1}{3})^2+(y-\dfrac{1}{3})^2+(z-\dfrac{1}{3})^2>=0\)
\(=>x^2+y^2+z^2-\dfrac{2}{3}(x+y+z)+\dfrac{1}{3}\ge0\)
\(=>x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)
\(=>1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)
\(=>x+y+z\le2\)
Do đó : \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1+2(ab+bc+ca).\)
\(=>A=(ab+ac+bc)=\dfrac{1}{2}(a+b+c)^2-\dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{2}.2^2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
N
0
VX
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 10 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(F=\frac{x^4}{x^2\sqrt{y}}+\frac{y^4}{y^2\sqrt{x}}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2\sqrt{y}+y^2\sqrt{x}}=\frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp AM-GM:
$(y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y})^2\leq (y^2+x^2)(y^2x+x^2y)=2xy(x+y)$
$\leq (x^2+y^2)\sqrt{2(x^2+y^2)}=2\sqrt{2.2}=4$
$\Rightarrow y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}\leq 2$
$\Rightarrow F\geq \frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{x}}\geq \frac{4}{2}=2$
Vậy $F_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 10 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(F=\frac{x^4}{x^2\sqrt{y}}+\frac{y^4}{y^2\sqrt{x}}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2\sqrt{y}+y^2\sqrt{x}}=\frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp AM-GM:
$(y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y})^2\leq (y^2+x^2)(y^2x+x^2y)=2xy(x+y)$
$\leq (x^2+y^2)\sqrt{2(x^2+y^2)}=2\sqrt{2.2}=4$
$\Rightarrow y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}\leq 2$
$\Rightarrow F\geq \frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{x}}\geq \frac{4}{2}=2$
Vậy $F_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$
\(x^2\left(x^2+2y^2-3\right)+\left(y^2-2\right)^2=1\)
<=> \(x^4+2x^2y^2-3x^2+y^4-4y^2+4=1\)
<=> \(\left(x^2+y^2\right)^2-4\left(x^2+y^2\right)+3=-x^2\le0\) (1)
Đặt \(x^2+y^2=a\) ( \(a\ge0\) )
(1) => \(a^2-4a+3\le0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-3\right)\le0\Leftrightarrow1\le a\le3\)
Vậy GTNN của \(x^2+y^2là1\)
Dấu '' = '' xảy ra khi x = 0 ; y = 1