Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cậu vào đường link này sẽ rõ:http://olm.vn/hoi-dap/question/794605.html
1) \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
2) \(\frac{1}{xy}=\frac{1}{\left(\sqrt{xy}\right)^2}\ge\frac{1}{\left(\frac{x+y}{2}\right)^2}=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{2}\)
bạn Diệu Linh ơi, bài này bảo chứng minh điều đó là đúng chứ không bảo điều đó là giả thiết nhé bạn, nhưng cũng cảm ơn bạn vì đã giúp mình =))
Ta có:\(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)< \left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+xy^2-yx^2-y^3< x^3+x^2y-y^2x-y^3\)
\(\Leftrightarrow xy^2-yx^2< x^2y-y^2x\)
\(\Rightarrow2xy^2< 2yx^2\)
\(\Rightarrow y< x\)(luôn đúng)
Vậy \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
\(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}>\frac{x-y}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}-\frac{x-y}{x+y}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(x+y\right)-\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)\left(x^2+y^2+2xy-x^2-y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)2xy}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)( luôn đúng vì x>y>0)
\(\Rightarrow\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}>\frac{x-y}{x+y}\)
đpcm
Do \(x>y>0\) nên \(x+y\ne0\).Theo tính chất cơ bản của phân thức ta có :
\(\frac{x-y}{x+y}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+y\right)}=\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}\) \(\left(1\right).\)
Mặt khác , do \(x,y>0\) nên \(x^2+2xy+y^2>x^2+y^2\)
Vậy \(\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) \(\left(2\right).\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) \(\Rightarrow\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\).
1. \(a< b\Leftrightarrow2a< 2b\Leftrightarrow2a+1< 2b+1\)
\(a< b\Leftrightarrow-3a>-3b\Leftrightarrow-3a>-3b-1\)
2.\(a>b>0\Leftrightarrow a.\frac{1}{ab}>b.\frac{1}{ab}\Leftrightarrow\frac{1}{b}>\frac{1}{a}\Leftrightarrow\frac{1}{a}< \frac{1}{b}\)
a, Áp dụng bđt cosi ta có :
2xy.(x^2+y^2) < = (2xy+x^2+y^2)^2/4 = (x+y)^4/4 = 2^4/4 = 4
<=> xy.(x^2+y^2) < = 2
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1
Vậy ............
Tk mk nha
b, Có : x.y < = (x+y)^2/4 = 2^2/4 = 1
<=> 2xy < = 2
Ta có : 1/x^2+y^2 + 1/xy = 1/x^2+y^2 + 1/2xy + 1/2xy >= \(\frac{9}{x^2+y^2+2xy+2xy}\)
= \(\frac{9}{\left(x+y\right)^2+2xy}\)
< = \(\frac{9}{2^2+2}\)= 3/2
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1
\(\text{bđt }\Leftrightarrow\frac{1}{x+y}< \frac{x+y}{x^2+y^2}\Leftrightarrow x^2+y^2< \left(x+y\right)^2\Leftrightarrow2xy>0\)
bđt cuối đúng, nên bđt đầu đúng.