NT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
0
TC
1
23 tháng 12 2015
\(x-2\sqrt{x}\left(\sqrt{y}-1\right)+\left(\sqrt{y}-1\right)^2+2y-6\sqrt{y}+10-\left(y-2\sqrt{y}+1\right)>0\)
\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}+1\right)^2+\left(y-4\sqrt{y}+4\right)+5>0\)
\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}+1\right)^2+\left(\sqrt{y}-2\right)^2+5>0\) ( dpcm)
TL
0
NH
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 8 2017
Lời giải:
Ta có \(M=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t\). Vì \(x,y>0;x\geq 2y\Rightarrow t=\frac{x}{y}\geq 2\)
Ta cần đi tìm min \(M=t+\frac{1}{t}\) với \(t\geq 2\)
Áp dụng BĐT AM-GM
\(M=\frac{3t}{4}+\frac{t}{4}+\frac{1}{t}\geq \frac{3t}{4}+2\sqrt{\frac{1}{4}}\geq \frac{3t}{4}+1\)
Mà \(t\geq 2\Rightarrow M\geq \frac{3}{4}.2+1\Leftrightarrow M\geq \frac{5}{2}\)
Vậy \(M_{\min}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow x=2y\)
TN
0
LH
0
14 tháng 8 2016
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{z}};y+z\ge2\sqrt{yz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{x}};z+x\ge2\sqrt{xz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{y}}.\)( vì xyz=1)
=> P\(\ge\)\(\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\)+ \(\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\\b=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\\c=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\end{cases}\left(a;b;c\ge0\right)}\)<=> \(\hept{\begin{cases}4a+b=2c+9z\sqrt{z}\\4b+c=2a+9x\sqrt{x}\\4c+a=2b+9y\sqrt{y}\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}z\sqrt{z}=\frac{4a+b-2c}{9}\\x\sqrt{x}=\frac{4b+c-2a}{9}\\y\sqrt{y}=\frac{4c+a-2b}{9}\end{cases}}\)
Do đó:
P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\cdot\left(\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}+\frac{4c+a-2b}{b}\right)\)
<=> P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\left(4\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right)-6\right)\)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\cdot\left(4\cdot3\cdot\sqrt[3]{\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}}-6\right)\)( Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ko âm)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\left(12+3-6\right)=2\)( đpcm)
Dấu = khi x=y=z=1.