GF
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KN
24 tháng 5 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:
\(\left(9x^3+3y^2+z\right)\left(\frac{1}{9x}+\frac{1}{3}+z\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{x}{9x^3+3y^2+z}\le\frac{x\left(\frac{1}{9x}+\frac{1}{3}+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{\frac{1}{9}+\frac{x}{3}+zx}{\left(x+y+z\right)^2}\)(1)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{y}{9y^3+3z^2+x}\le\frac{\frac{1}{9}+\frac{y}{3}+xy}{\left(x+y+z\right)^2}\)(2); \(\frac{z}{9z^3+3x^2+y}\le\frac{\frac{1}{9}+\frac{z}{3}+yz}{\left(x+y+z\right)^2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(\frac{x}{9x^3+3y^2+z}+\frac{y}{9y^3+3z^2+x}+\frac{z}{9z^3+3x^2+y}\)\(\le\frac{\frac{1}{9}.3+\frac{x+y+z}{3}+xy+yz+zx}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(\le\frac{\frac{1}{9}.3+\frac{x+y+z}{3}+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)(*)
Mặt khác, có: \(2017\left(xy+yz+zx\right)\le2017.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{2017}{3}\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(A=\frac{x}{9x^3+3y^2+z}+\frac{y}{9y^3+3z^2+x}+\frac{z}{9z^3+3x^2+y}+2017\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\le1+\frac{2017}{3}=\frac{2020}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
18 tháng 7 2016
1) \(E^2=\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{2\left(x^2+y^2\right)-4xy}{2\left(x^2+y^2\right)+4xy}=\frac{5xy-4xy}{5xy+4xy}=\frac{xy}{9xy}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow E=\frac{1}{3}\)(vì x>y>0)
2) Ta có \(x+y+z=0\Rightarrow x+y=1-z\)
Lại có : \(1=\left(x+y+z\right)^2=1+2\left(xy+yz+xz\right)\Rightarrow2xy+2yz+2xz=0\Rightarrow2xy=-2z\left(x+y\right)=-2z\left(1-z\right)\)Thay vào \(x^2+y^2+z^2=1\) được :
\(\left(x+y\right)^2-2xy+z^2=1\)\(\Leftrightarrow\left(1-z\right)^2-2z\left(1-z\right)+z^2=1\Leftrightarrow4z^2-4z=0\Leftrightarrow z\left(z-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}z=0\\z=1\end{cases}}\)
Với z = 0 => x + y = 1 và x2+y2 = 1 => x = 0 , y = 1 hoặc x = 1 , y =0
=> A = 1
Tương tự với z = 1 , ta cũng có x = 0 , y = 0 => A = 1
1 tháng 9 2019
Xin phép được sủa đề một chút nhé :)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=z=a\\x^2+y^2+z^2=b\\a^2=b+4034\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=a^2\\x^2+y^2+z^2=b\\a^2-b=4034\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-b=2\left(xy+yz+zx\right)\\a^2-b=4034\end{matrix}\right.\Leftrightarrow xy+yz+zx=2017\)
\(M=x\sqrt{\frac{\left(2017+y^2\right)\left(2017+z^2\right)}{2017+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(2017+x^2\right)\left(2017+z^2\right)}{2017+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(2017+y^2\right)\left(2017+x^2\right)}{2017+z^2}}\)
\(=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}\)
\(=2\left(xy+yz+zx\right)=4034\)
26 tháng 5 2018
Ta có:\(\left(9x^3+3y^2+z\right)\left(\dfrac{1}{9x}+\dfrac{1}{3}+z\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{9x^3+3y^2+z}\le\dfrac{x\left(\dfrac{1}{9x}+\dfrac{1}{3}+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1}{9}+\dfrac{x}{3}+xz}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Tương tự rồi cộng theo vế:
\(Σ_{cyc}\dfrac{x}{9x^3+3y^2+z}\le\dfrac{\dfrac{1}{9}\cdot3+\dfrac{x+y+z}{3}+xy+yz+xz}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(\le\dfrac{\dfrac{1}{9}\cdot3+\dfrac{x+y+z}{3}+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Lại có: \(2017\left(xy+yz+xz\right)\le2017\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{2017}{3}\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{2020}{3}\)
Dấu "=" khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Vậy ko ra yếu zzzz
19 tháng 12 2017
x^3+y^3+z^3-3xyz = 0
<=> (x+y+z).(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = 0
Mà x+y+z > 0 => x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = 0
<=> 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx = 0
<=> (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 = 0
=> x-y=0;y-z=0;z-x=0
=> P = 0
k mk nha
PT
1
26 tháng 1 2018
Xét : A = x^2017+x^2017+1+1+.....+1 ( 2015 số 1 )
Áp dụng bđt cosi thì :
A >= \(2017\sqrt[2017]{x^{2017}.x^{2017}}\) = 2017.x^2
=> x^2 < = 2x^2017+2015/2017
Tương tự : y^2 < = 2y^2017+2015/2017 ; z^2 < = 2z^2017+2015/2017
=> x^2+y^2+z^2 < = 2(x^2017+y^2017+z^2017)+6045/2017 = 2.3+6045/2017 = 3
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Vậy GTLN của x^2+y^2+z^2 = 3 <=> x=y=z=1
Tk mk nha
DT
3 tháng 1 2018
Ap dung BDT cosi,ta co:
3x^2017+2014=x^2017+x^2017+x^2017+1+1+............+1>=2017.x^3
CMTT
suy ra 2017(x^3+y^3+z^3)<=3(x^2017+y^2017+z^2017+2014)=6051
Suy ra max= 6051,dau bang xay ra khi va chi khi x=y=z=1
https://olm.vn/hoi-dap/detail/97024326380.html
Tham khảo ở link này
Học tốt!!!!!!!!!!