Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng Cauchy:
\(\left(x^2+1\right)\ge2\sqrt{x^2\cdot1}=2x\)(dấu = khi x=1)
\(\left(y^2+4\right)\ge2\sqrt{y^2\cdot4}=4y\)(dấu = khi y=2)
\(\left(z^2+9\right)\ge2\sqrt{z^2\cdot9}=6z\)(dấu = khi z=3)
\(\Rightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2+4\right)\left(z^2+9\right)\ge48xyz\)(dấu = khi x=1, y=2, z=3)
ĐK đề bài => x=1, y=2, z=3. Thay x, y, z vào tính được P.
Ta có x2 + 1 >=2x . Dấu = xảy ra khi x = 1
Tương tự ta cũng có : y2 +4 >=4y. dấu = xảy ra khi y = 2 ; z2 +9 >=6z, dấu = xảy ra khi y = 3
vì x, y, z > 0, nên nhân từng vế các bđt này ta đc : ( x2 +1)( y2 +4)( z2 +9) >= 48xyz
Dấu = xảy ra khi x =1, y =2, z = 3
Vậy \(P=\frac{1^3+2^3+3^3}{\left(1+2+3\right)^2}=\frac{36}{36}=1\)
Ta có:
\(\left(x^2+1\right)\left(y^2+4\right)\left(z^2+9\right)\ge2x.4y.6z=48xyz\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)
Thế vào A ta được:
\(A=\frac{x^3+y^3+z^3}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{1^3+2^3+3^3}{\left(1+2+3\right)^2}=1\)
Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\) <=> \(x^2+1\ge2x\) (1)
\(\left(y-2\right)^2\ge0\) <=> \(y^2+4\ge4y\) (2)
\(\left(z-3\right)^2\ge0\) <=> \(z^2+9\ge6z\) (3)
Nhân vế theo vế các bđt (1), (2), (3) được:
\(\left(x^2+1\right)\left(y^2+4\right)\left(z^2+9\right)\ge48xyz\) mặt khác theo bài ra: \(\left(x^2+1\right)\left(y^2+4\right)\left(z^2+9\right)=48xyz\) => Dấu "=" xảy ra <=>
\(\left\{\begin{matrix}x^2+1=2x\\y^2+4=4y\\z^2+9=6z\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=3\end{matrix}\right.\)
Đến đây thì bạn tự túc! :)))