Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(Vt=\left(x-y\right)^2+\frac{\left(1-xy\right)}{\left(x-y\right)^2}^2+2xy\ge2\left(1-xy\right)+2xy=2\)(AM-GM)
Theo giả thiết: \(xyz=x+y+z+2\)
\(\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1\)\(=\left(xy+yz+zx\right)+2\left(x+y+z\right)+3\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+x+y+1\right)\left(z+1\right)\)\(=\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(z+1\right)\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)\(=\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(z+1\right)\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\). Đặt \(a=\frac{1}{x+1};b=\frac{1}{y+1};c=\frac{1}{z+1}\)
Khi đó a + b + c = 1 và \(x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a}\);\(y=\frac{1-b}{b}=\frac{c+a}{b}\);\(z=\frac{1-c}{c}=\frac{a+b}{c}\)
Ta cần chứng minh \(x+y+z+6\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+6\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2-\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x+y+z+3\right)}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left[\left(x+1\right)+\left(y+1\right)+\left(z+1\right)\right]}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left[\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\right]\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}\)\(\ge\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\)
BĐT cuối hiển nhiên đúng vì đây là BĐT Bunyakovski do đó bài toán được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)hay x = y = z = 2
\(BDT\Leftrightarrow\text{∑}\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)\ge\frac{21}{2}\)
Mà \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\)(dùng AM-GM giải quyết chỗ này)
Vậy ta cần chứng minh \(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{17}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y^2}{z^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{4z}{x+y}\right)^2\)
Đặt \(a=\frac{z}{x+y}\ge1\),ta chứng minh \(\frac{1}{2a^2}+8a^2\ge\frac{17}{2}\)
Dễ thấy BĐT này đúng.Vậy ta có đpcm
Đặt biểu thức trên là A
\(A=x^2+y^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2\)
\(=\left(x-y\right)^2+\frac{\left(xy-1\right)^2}{\left(x-y\right)^2}+2xy\ge2\sqrt{\left(x-y\right)^2\frac{\left(xy-1\right)^2}{\left(x-y\right)^2}}+2xy\)
\(=2\sqrt{\left(xy-1\right)^2}+2xy\)
\(=2\left|xy-1\right|+2xy\)
Áp dụng bđt Cô si
- Nếu thấy \(xy\ge1\Rightarrow A\ge2xy-2+2xy=4xy-2\ge2\)
- Nếu \(xy< 1\Rightarrow A>-2xy+2+2xy=2\)
Vậy : \(A\ge2\left(đpcm\right)\)
Ta có:Xét hiệu \(x^2+y^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2-2=\left(x-y\right)^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2+2\left(xy-1\right)\ge0\)
\(=\left(x-y+\frac{xy-1}{x-y}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2\ge2\left(đpcm\right)\)