Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có: \(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=\sqrt{2019}\)
\(\Leftrightarrow\left[xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\right]^2=2019\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+x^2y^2+x^2+y^2+1+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019\)
\(\Leftrightarrow y^2\left(1+x^2\right)+x^2\left(1+y^2\right)+1+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019\)
\(\Leftrightarrow\left[y\left(1+x^2\right)+x\left(1+y^2\right)\right]^2=2018\)
\(\Leftrightarrow y\left(1+x^2\right)+x\left(1+y^2\right)=\sqrt{2018}\)
hay \(A=\sqrt{2018}\)
Từ điều kiện suy ra \(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge3\)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có :
\(3\le\sqrt{xy}+\sqrt{x}.1+\sqrt{y}.1\le\frac{x+y}{2}+\frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}\)
\(\Rightarrow x+y\ge2\)
Ta có : \(\frac{x^2}{y}+y\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y}.y}=2x\); \(\frac{y^2}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x}.x}=2y\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+x+y\ge2x+2y\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge x+y\ge2\)
Vậy GTNN của P là 2 khi x = y = 1
Ta có \(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
\(\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\)
\(\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)\le6\sqrt{2}\)
Ta lại có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\le3\)
Theo đề bài ta có
\(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+3\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\le6\sqrt{2}+\left(3-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le3\sqrt{2}+9\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1
ĐKXĐ: x ; y > -6
Ta có :\(x-\sqrt{y+6}=\sqrt{x+6}-y\)
\(\Rightarrow x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)
\(\Leftrightarrow P=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\left(\text{ }Do\text{ }VP\ge0\text{ }nen\text{ }P\ge0,dau\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }"="khi\text{ }x=y=-6\right)\)
\(\Rightarrow P^2=x+y+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\le P+12+x+y+12\)
\(\Leftrightarrow P^2\le2P+24\)
\(\Leftrightarrow P^2-2P-24\le0\)
\(\Leftrightarrow-4\le P\le6\)
Nên Pmax = 6 khi... (Tự làm nhé)
Pmin = 0 khi x = y = -6
Đặt \(x+\sqrt{1+x^2}=a\Rightarrow a-x=\sqrt{1+x^2}\Rightarrow a^2-2ax+x^2=1+x^2\)
=> \(a^2-1=2ax\Rightarrow x=\frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{a}\right)\)
Tương tự, đặt \(y+\sqrt{1+y^2}=b\Rightarrow y=\frac{1}{2}\left(b-\frac{1}{b}\right)\)
=> x+y=\(\frac{1}{2}\left(a+b-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b-\frac{3}{3a}+\frac{3}{3b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b\right)\)(vì ab=3)
=\(\frac{1}{2}.\frac{2}{3}\left(a+b\right)=\frac{1}{3}\left(a+b\right)\)
Mà \(\left(a+b\right)^2\ge2ab=6\Rightarrow a+b\ge\sqrt{6}\Rightarrow\frac{1}{3}\left(a+b\right)\ge\frac{\sqrt{6}}{3}\)
dấu = xảy ra <=> a=b<=> x=y bạn tự thay vào và tự tìm nhá
^_^
Ta có điều kiện \(\hept{\begin{cases}y\ge-6\\x\ge-6\\x+y\ge0\end{cases}}\)
Theo đề bài thì: \(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow P^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x+y+12\right)\)
\(\Leftrightarrow P^2-2P-24\ge0\)
\(\Leftrightarrow-4\le P\le6\)
\(\Leftrightarrow-4< P\le6\left(1\right)\)
Ta lại có:
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow P^2=x+y+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)
\(\Leftrightarrow P^2-P-12=2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(P+3\right)\left(P-4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}P\le-3\left(l\right)\\P\ge4\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow4\le P\le6\)
Vậy GTNN là \(P=4\)đạt được khi \(\hept{\begin{cases}x=-6\\y=10\end{cases}}or\hept{\begin{cases}x=10\\y=-6\end{cases}}\)
GTLN là \(P=6\) đạt được khi \(x=y=3\)
Ta có: \(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x-y\right)^2+10x-6y+8}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)+10x-6y+8\le2\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2+8\left(x-y\right)+8\le0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-y+2\right)^2\le0\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+1=y-1\\x-y+2=0\end{cases}\Leftrightarrow}y=x+2\)
Thế vào P ta được
\(P=x^4+\left(x+2\right)^2-5x-5\left(x+2\right)+2020\)
\(=x^4+2x^2-6x+2014\)
\(=\left(x^2-1\right)^2+3\left(x-1\right)^2+2010\ge2010\)
Vậy GTNN là P = 2010 đạt được khi x = 1, y = 3
Ta có: √x+1+√y−1≤√2(x+y)
⇔√2(x−y)2+10x−6y+8≤√2(x+y)
⇔2(x−y)+10x−6y+8≤2(x+y)
⇔2(x−y)2+8(x−y)+8≤0
⇔2(x−y+2)2≤0
Dấu = xảy ra khi {
| x+1=y−1 |
| x−y+2=0 |
⇔y=x+2
Thế vào P ta được
P=x4+(x+2)2−5x−5(x+2)+2020
=x4+2x2−6x+2014
=(x2−1)2+3(x−1)2+2010≥2010
Vậy GTNN là P = 2010 đạt được khi x = 1, y = 3
*)Maximize : Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2\le\left(1+1\right)\left(x+1+y+1\right)=2\left(x+y+2\right)\)
Và \(VP^2=\left(\sqrt{2}\left(x+y\right)\right)^2=2\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow2\left(x+y\right)^2\le2\left(x+y+2\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)-2\le0\)
\(\Rightarrow\left(x+y-2\right)\left(x+y+1\right)\le0\)
\(\Rightarrow-1\le P=x+y\le2\)
Khi \(x=y=1\) thì \(P_{Max}=2\)
*)Minimize: Áp dụng BĐT Karamata ta có:
\(VT=\sqrt{2}\left(x+y\right)=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=VP\)
\(\ge\sqrt{0}+\sqrt{x+1+y+1}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2}\left(x+y\right)\ge\sqrt{x+1+y+1}\)
\(\Rightarrow2\left(x+y\right)^2\ge\left(x+y\right)+2\)
\(\Rightarrow2\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)-2\ge0\)
\(\Rightarrow P=x+y\ge\frac{1+\sqrt{17}}{4}\)
Khi \(x=\frac{5+\sqrt{17}}{4};y=-1\) thì \(P_{Min}=\frac{1+\sqrt{17}}{4}\)
#Vỗ tay coi :))
Thắng -_- ừ, hay lắm :))