XX
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KN
25 tháng 12 2019
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)(đpcm)
25 tháng 12 2019
Ta có vì : x,y > 0
và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Từ đề bài ta có:
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}.\left(x+y\right).xy\ge\frac{4}{x+y}.xy\left(x+y\right)\)
Áp dụng đẳng thức Cô-si:
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy....
đpcm.
3 tháng 5 2018
\(A=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{xy+2zx}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)
NK
2
4 tháng 2 2018
Bổ xung ĐK : x;y > 0
Cần chứng minh : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)(đúng với x;y>0)
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)\ge0\)(đúng vì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\ge0\)theo cmt)
Vậy \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
4 tháng 2 2018
áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
x2/y2+1>=2x/y
y2/x2+1>=2y/x x/y+y/x>=2(1)
cộng cả hai vế ta có x2/y2+y2/x2 + 2>=2x/y+2y/x
kết hợp với (1)=>dpcm
KN
22 tháng 2 2020
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz dạng Engel, ta được:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\frac{4}{x+y}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
KN
22 tháng 2 2020
Thật ra bài này không cần điều kiện \(x+y\le1\)thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)vẫn đúng với x,y dương và x = y.
Mình nghĩ nên chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge4\)thì điều kiện \(x+y\le1\) sẽ có nghĩa!
DD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 2 2020
\(\frac{x^2}{y^2}+1+\frac{y^2}{x^2}+1-2\ge\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}-2=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)-2\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\sqrt{\frac{xy}{xy}}-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3-x^2y+y^3-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng với x;y dương)
Vậy BĐT đã cho đúng
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)