DT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
17 tháng 8 2019
\(\frac{xy\sqrt{z-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{x-3}}{xyz}\\ =\frac{xy\sqrt{z-1}}{xyz}+\frac{xz\sqrt{y-2}}{xyz}+\frac{yz\sqrt{x-3}}{xyz}\\ =\frac{\sqrt{z-1}}{z}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{x-3}}{x}\\ =\frac{2\sqrt{z-1}}{2z}+\frac{2\sqrt{2}\sqrt{y-2}}{2\sqrt{2}y}+\frac{2\sqrt{3}\sqrt{x-3}}{2\sqrt{3}x}\)
Áp dụng BDT Cô-si với 2 số không âm:
\(\Rightarrow\frac{2\sqrt{z-1}}{2z}+\frac{2\sqrt{2}\sqrt{y-2}}{2\sqrt{2}y}+\frac{2\sqrt{3}\sqrt{x-3}}{2\sqrt{3}x}\\ \le\frac{1+\left(z-1\right)}{2z}+\frac{2+\left(y-2\right)}{2\sqrt{2}y}+\frac{3+\left(x-3\right)}{2\sqrt{3}x}\\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z-1=1\\y-2=2\\x-3=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=2\\y=4\\x=6\end{matrix}\right.\)
Vậy.......
TA
19 tháng 5 2017
1/ Sửa đề: \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)
Với mọi x, y, z ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
Do đó dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = y = z
3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 10 2019
\(P=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{xy}\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}{1-xy}\right):\left(\frac{x+y+2xy+1-xy}{1-xy}\right)\)
\(=\left(\frac{2\sqrt{x}+2y\sqrt{x}}{1-xy}\right):\left(\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{1-xy}\right)\)
\(=\frac{2\sqrt{x}\left(y+1\right)}{\left(1-xy\right)}.\frac{\left(1-xy\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}\)
\(x=\frac{2}{2+\sqrt{3}}=\frac{2\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}=4-2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{3}-1\)
\(\Rightarrow P=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{5-2\sqrt{3}}=\frac{2+6\sqrt{3}}{13}\)
Ta có \(1-P=1-\frac{2\sqrt{x}}{x+1}=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+1}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x+1}\ge0\) \(\forall x\ge0\)
\(\Rightarrow1-P\ge0\Rightarrow P\le1\)
12 tháng 7 2016
1. Ta có : \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>0\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b>0\Leftrightarrow a+b>2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{ab}}>\frac{2}{a+b}\)
2. Áp dụng từ câu 1) , ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{1.2005}}+\frac{1}{\sqrt{2.2004}}+...+\frac{1}{\sqrt{2005.1}}>\frac{2}{1+2005}+\frac{2}{2+2004}+...+\frac{2}{2005+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{1.2005}}+\frac{1}{\sqrt{2.2004}}+...+\frac{1}{\sqrt{2005.1}}< \frac{2.2005}{2006}=\frac{2005}{1003}\)
3. Ta có : \(\left(\frac{x^2+y^2}{x-y}\right)^2=\frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{x^2-2xy+y^2}=\frac{x^4+y^4+2}{x^2+y^2-2}\)
Đặt \(t=x^2+y^2,t\ge0\Rightarrow\frac{x^4+y^4+2}{x^2+y^2-2}=\frac{t^2-2+2}{t-2}=\frac{t^2}{t-2}\)
Xét : \(\frac{t-2}{t^2}=\frac{1}{t}-\frac{2}{t^2}=-2\left(\frac{1}{t^2}-\frac{2}{t.4}+\frac{1}{16}\right)+\frac{1}{8}=-2\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{8}\le\frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow\frac{t^2}{t-2}\ge8\Rightarrow\left(\frac{x^2+y^2}{x-y}\right)^2\ge8\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)
NT
2
26 tháng 8 2017
Ta có : \(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
Vì \(x>y\) nên \(\hept{\begin{cases}x-y>0\\\frac{2}{x-y}>0\end{cases}}\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có :
\(x-y+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\) (đpcm)
26 tháng 8 2017
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{x^2-2xy+y^2+2}{x-y}\)
Vì theo giả thiết, \(xy=1\)nên \(2xy=2\), em dùng phương pháp Thêm Bớt
\(\frac{x^2-2xy+y^2+2}{x-y}=\frac{x-y^2+2}{x-y}\)
\(=x-y+\frac{2}{x-y}\)
Áp dụng BDT Cô-si cho 2 số dương là : \(x-y\)và \(\frac{2}{x-y}\) nên ta có:
\(x-y+\frac{2}{x-y}=2\sqrt{2}\)
Vậy: \(GTNN=2\sqrt{2}\Leftrightarrow x-y=\frac{2}{x-y}\)
TN
13 tháng 10 2016
1)đề thiếu
2)\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}\)\(=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
\(x>y\Rightarrow x-y>0\).Áp dụng Bđt Côsi ta có:
\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\cdot\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
Đpcm
3)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Đpcm
HD
3
11 tháng 6 2018
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)
mặt khác \(x>y\Rightarrow x-y>0\)
áp dụng BĐT CÔ-SI CHO hai số dương ta được \(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\frac{2}{x-y}}\ge2\sqrt{2}\)
dấu''='' xảy ra khi và chỉ khi \(\left(x-y\right)=\frac{2}{x-y}\)
11 tháng 6 2018
Trường hợp dấu băng xảy ra chưa rỗ, còn cần phải giải thêm
QT
30 tháng 5 2021
Đặt biểu thức trên là A
\(A=x^2+y^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2\)
\(=\left(x-y\right)^2+\frac{\left(xy-1\right)^2}{\left(x-y\right)^2}+2xy\ge2\sqrt{\left(x-y\right)^2\frac{\left(xy-1\right)^2}{\left(x-y\right)^2}}+2xy\)
\(=2\sqrt{\left(xy-1\right)^2}+2xy\)
\(=2\left|xy-1\right|+2xy\)
Áp dụng bđt Cô si
- Nếu thấy \(xy\ge1\Rightarrow A\ge2xy-2+2xy=4xy-2\ge2\)
- Nếu \(xy< 1\Rightarrow A>-2xy+2+2xy=2\)
Vậy : \(A\ge2\left(đpcm\right)\)
30 tháng 5 2021
Ta có:Xét hiệu \(x^2+y^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2-2=\left(x-y\right)^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2+2\left(xy-1\right)\ge0\)
\(=\left(x-y+\frac{xy-1}{x-y}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2\ge2\left(đpcm\right)\)
Theo giả thiết \(x-y>0\). Do đó theo bất đẳng thức Cô-Si ta có
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\cdot\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}.\)