Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: `hat(ABD) = hat(ACD)`.
Lấy `M in AC` sao cho `hat(ADB) = hat(MDC)`.
`=> triangle ABD ~ triangle MCD`.
`=> (AB)/(MC) = (BD)/(CD) => AB . CD = BD . MC`.
Xét `2 triangle ADM, BDC`, ta có:
`hat(ADM) = hat(BDC)`.
`(DA)/(DM) = (BD)/(DC) ( triangle ABD ~ triangle MCD )`.
`=> triangle ADM ~ triangle BCD => (AD)/(AM) = (BD)/(CB) => AD . BC = BD . AM`
`=> AD . BC + AD . BC = BD . AM + BD . MC`
`=> AD . BC + AD . BC = BD(AM+MC)`
`=> AD.BC+AD.BC = BD . AC => dpcm`.
vì tứ giác ABCD nội tiếp,theo định lý Ptoleme ta có:
AC.BD=AB.CD+AD.BC (ĐPCM)
cho t/g nội tiếp ABCD
khi đó <BAC= <BDC VÀ <ADB = <ACB
DỰNG K TRÊN AC SAO CHO <ABK = <CBD
VÌ <ABK+ <CBK=<ABC= <CBD+ <ABD NÊN <CBK= <ABD
➙△ABK∼△DBC VÀ △ABD∼△KBC
➙AK/AB=CD/BD VÀ CK/BC=DA/BC
➙AK*BD=AB*CD VÀ CK*BD =BC*DA
CỘNG LẠI ĐƯỢC:AK*BD+CK*BD=AB*CD+BC*DA
NHÓM NHÂN TỬ:(AK+CK)*BD=AB*CD+BC*DA
MÀ AK+CK=AC
VẬY AC*BD=AB*CD+BC*DA(đpcm)
1) a2 - ab + b2 ≥ 0
<=> ( 4a2 - 4ab + b2 ) + 3b2 ≥ 0
<=> ( 2a - b )2 + 3b2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 0
2) a2 - ab + b2 ≥ 1/4( a + b )2
<=> 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2
<=> 4a2 - 4ab + 4b - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b
áp dụng BĐT cô-si ta có:
\(\frac{a+b}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\)\(\ge2\sqrt{\frac{a}{2}.\frac{b}{2}}=2\frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{4}}=2\frac{\sqrt{ab}}{2}=\sqrt{ab}\)
Vậy \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=0 hoặc a=b=1
Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.
Dựng điểm E sao cho tam giác BCD đồng dạng với tam giác BEA. Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có
\(\frac{BA}{EA}=\frac{BD}{CD}\)
Suy ra \(BA.CD=EA.BD\left(1\right)\)
Mặt khác, tam giác EBC và tam giác ABD cũng đồng dạng do có
\(\frac{BA}{BD}=\frac{BE}{BC}\) và góc EBC= góc ABD
Từ đó
\(\frac{EC}{BC}=\frac{AD}{BD}\)
Suy ra
\(AD.BC=EC.BD\left(2\right)\)
Cộng (1) và (2) ta suy ra
\(AB.CD+AD.BC=BD.\left(EA+EC\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra \(AB.CD+AD>BC\ge AC>BD\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và trở thành định lý Ptoleme.