Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A D E C I B J H K M O
- vÌ H là trực tâm của tam giác ABC , \(BD⊥BC,CE⊥AB\Rightarrow\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\) nên BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC. Tâm đường tròn nội tiếp BCDE là J ( trung điểm BC)
- I đối xứng với A qua O => AI là đường kính của đường tròn tâm O =>\(\widehat{ACI}=\widehat{ABI}=90^0\)vì\(\hept{\begin{cases}BD⊥AC\\CI⊥AC\end{cases}\Rightarrow BD}\downarrow\uparrow CI\left(1\right)\) VÀ\(\hept{\begin{cases}CE⊥AB\\BI⊥AB\end{cases}\Rightarrow CE\uparrow\downarrow BI\left(2\right)}\)Từ (1) và (2) BHCI là hình bình hành,mà J LÀ Trung điểm của BC nên J là giao điểm của hai đường chéo HI và BC của hbh BICH nên ta có I,J,H thẳng hàng (DPCM)
- Vì BCDE là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ADK}\left(3\right)\)mặt khác ABIC nội tiếp (O) nên \(\widehat{IAC}=\widehat{IBC}\left(4\right)\)ta lại có \(BI⊥AB\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{IBC}=90^O\left(5\right)\)TỪ 3,4,5 ta có \(\widehat{IAC}+\widehat{ADK}=90^O\)hay \(DE⊥AM\Rightarrow\Delta ADM\)vuông tại D và có DE là đường cao tương ứng tại D nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông có (DPCM) \(\frac{1}{DK^2}=\frac{1}{DA^2}+\frac{1}{DM^2}\)
a) Tứ giác BEHK có hai góc đỉnh E, K là vuông nên bốn đỉnh của tứ giác thuộc đường tròn đường kính EK.
Mặt khác, tứ giác ABKD có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đường kính AB. Theo tính chất về các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau, ta suy ra \(\angle EKA=\angle EBD=\angle AKD\to AK\) là phân giác của góc EKD.
b) Tứ giác AIKJ có hai góc đỉnh I, J vuông nên các đỉnh của tứ giác nằm trên đường tròn đường kính AK. Do vậy \(\angle IKA=\angle AJI,\angle JKA=\angle AIJ\to\angle IKA=\angle JKA\) (do tính chất tiếp tuyến). Mà AK là phân giác của góc EKD. Suy ra \(\angle IKE=\angle JDA.\)
c) Gọi T là giao điểm AO với IJ. Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu trong tam giác vuông, ta có
\(AI^2=AT\cdot AO.\) Do chứng minh trên
\(\angle IKA=\angle AJI=\angle AIJ\to\Delta AIH\sim\Delta AKI\left(g.g\right)\to\frac{AI}{AK}=\frac{AH}{AI}\to AI^2=AH\cdot AK.\)
Vậy ta có \(AT\cdot AO=AH\cdot AK\to\frac{AT}{AH}=\frac{AK}{AO}\to\Delta ATK\sim\Delta AKO\to\angle ATH=\angle AKO=90^{\circ}.\) Do đó ta có \(HT\perp AO\), mà \(IJ\perp AO\) do tính chất tiếp tuyến. Suy ra \(TH\equiv IJ\to I,H,J\) thẳng hàng.