Question

[One Piece]

Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối tia BA lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N, trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho BM = CN = AI.

a, C/m tam giác BMN = tam giác CNI

b, C/m tam giác MNI là tam giác đều

c, C/m điểm cách đều 3 đỉnh tam giác ABC và tam giác MNI là trùng nhau.

(Vẽ hình và C/m)

Answer 1

[Hoàng Thị Ngọc Anh]

A B C M N I

a) Vì \(\Delta\)ABC đều nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}\) và AB = AC = BC.

Ta có: \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{NBM}\) = 180^o (kề bù)

\(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{ICN}\) = 180^o (kề bù)

=> \(\widehat{NBM}\) = \(\widehat{ICN}\)

Lại có: BC + CN = BN

AC + IA = CI

mà BC = AC; CN = IA

=> BN = CI

Xét \(\Delta\)BMN và \(\Delta\)CNI có:

BN = CI (c/m trên)

\(\widehat{NBM}\) = \(\widehat{ICN}\) (c/m trên)

BM = CN (gt)

=> \(\Delta\)BMN = \(\Delta\)CNI (c.g.c)

b) Vì \(\Delta\)BMN = \(\Delta\)CNI (câu a)

=> MN = NI (2 cạnh t/ư)

Lại có:

\(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{ICN}\) = 180^o (kề bù)

\(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{MAI}\) = 180^o (kề bù)

mà \(\widehat{ACB}=\widehat{BAC}\)

=> \(\widehat{ICN}=\widehat{MAI}\)

Ta lại có: AB + BM = AM

AC + IA = IC

mà AB = AC; BM = IA

=> AM = IC

Xét \(\Delta\)AMI và \(\Delta\)CIN có:

AM = CI (c/m trên)

\(\widehat{MAI}\) = \(\widehat{ICN}\) (c/m trên)

AI = CN (gt)

=> \(\Delta\)AMI = \(\Delta\)CIN (c.g.c)

=> MI = IN (2 cạnh t/ư)

mà MN = IN (c/m trên)

=> MI = IN = MN

Do đó \(\Delta\)MNI đều.