Question

[Út Nhỏ Jenny]

Cho tam giác ABC vuông tại A và AB<AC. Gọi AD là đường phân giác của tam giác ABC. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại điể E. Chứng minh: BD=DE

ai nhanh mình tick ạk

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C D E H K

Ta vẽ thêm: Từ điểm D kẻ 2 đường thẳng vuông góc với AB tại H và vuông góc với AC tại K.

Do AD là phân giác của ^BAC=> ^BAD=^DAC. Vì H thuộc AB và K thuộc AC=> ^HAD=^KAD

Xét tam giác ADH và tam giác ADK có: 

^AHD=^AKD=90o

Cạnh AD chung       => Tam giác ADH = Tam giác ADK ( Cạnh huyền góc nhọn)

^HAD=^KAD

=> DH=DK (2 cạnh tương ứng)

Ta có; Tam giác ABC vuông tại A=> ^ABC+^ACB=90o (2 góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau)

hay: ^HBD+^DCE=90o (Do H thuộc AB, D thuộc BC và E thuộc AC) (1)

Vì DE vuông góc với BC tại D=> Tam giác EDC là tam giác vuông tại D

=> ^DEC+^DCE=90o (phụ nhau) (2)

Từ (1) và (2) => ^HBD+^DCE=^DEC+^DCE=90o => ^HBD=^DEC=90o - ^DCE

Hay có thể nói: ^HBD=^DEK (K thuộc AC)

Xét tam giác BHD: ^BHD+^HBD+^HDB=180o (t/c cộng góc) (3)

Tương tự tam giác EKD: ^EKD+^KED+^EDK=180o (4)

Từ (3) và (4) => ^BHD+^HBD+^HDB=^EKD+^DEK+^EDK=180o (5)

Mà: ^BHD=^EKD=90o ; ^HBD=^DEK (Đã CM) (6)

Từ (5) và (6) => ^HDB=^EDK (Trừ 2 vế cho 2 cặp góc bằng nhau)

Xét tam giác BHD và tam giác EKD:

^BHD=^EKD=90o

DH=DK (CM trên)         => Tam giác BHD = Tam giác EKD (g.c.g)

^HDB=^EDK (CM trên)

=> BD=DE (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

**** cho mình nha !