Question

[anhthu bui nguyen]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm AB. Kẻ MH vuông góc BC tại H. Chứng minh

CH\(^2\)-BH\(^2\)=AC\(^2\)

Nhanh lên mk cho 3 tick nha!!!

Answer 1

[tth_new]

A B C M H

Xét tam giác ABC vuông tại A.

Theo định lí Pytago,ta có:\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=\left(CH+BH\right)^2-\left(AM+BM\right)^2\)

Gọi độ dài CH là a; BH là b. Đặt AM = BM = c (a,b,c > 0)

\(=\left(a+b\right)^2-\left(2c\right)^2=\left(a+b\right)^2-4c^2\)

Điều cần c/m tương đương với: \(a^2-b^2=\left(a+b\right)^2-4c^2\) (a,b,c > 0)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2=a^2+2ab+b^2-4ac\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2-a^2-2ab-b^2-4ac=0\)

\(\Leftrightarrow-2ab-4ac=0\Leftrightarrow-2\left(ab+2ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ab+2ac=0\) (vô lí,vì a,b,c > 0 nên \(ab+2ac>0\))

Vậy đề sai.

Answer 2

[Nguyệt]

đề đúng :))

A B C M H

áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông CMA. ta có:

CA²+AM²=CM²=> AM²=CM²-CA² =MB²(vì MB=MA) (1)

áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông CHM. ta có:

CH²+HM²=CM²=> CM²-CH²=HM²(2)

áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông MHB. ta có:

MH²+HB²=MB² (3)

từ (1), (2), (3)=> CM²-CH²+HB²=CM²-CA²

=> -CH²+HB²=-CA² => CA²=CH²-HB²(đpcm)