Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH=a; CH=b. Chứng minh:\(\sqrt{ab}< \frac{a+b}{2}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH=a; CH=b. Chứng minh:\(\sqrt{ab}< \frac{a+b}{2}\)
Ta thấy:
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge2ab+2ab\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
hay \(\sqrt{ab}\ge\frac{a+b}{2}\)
Goij D là trung điểm của BC =>AD=BC/2=(a+b)/2
ma AH=căn ab
va AH</ AD
Hình bn tự vẽ nha.
Gọi M là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC vuông tại A và có cạnh huyền nên :
\(AM=\frac{BC}{2}=\frac{a+b}{2}\) (1)
Mặt khác ta có : \(AH^2=BH.CH\Rightarrow AH=\sqrt{ab}\) (2)
Ta luôn có :\(AH\le AM\) (3) ( quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Từ (1) (2) (3) => \(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\) ( Đpcm)
A B C H D E
a) Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao => AB2 = BH.BC; AC2 = HC.BC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Do đó: \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{HB.BC}{HC.BC}=\frac{HB}{HC}\)
b) Từ \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{HB}{HC}\)=> \(\frac{AB^4}{AC^4}=\frac{HB^2}{HC^2}\)
Xét tam giác AHB vuông tại H có HD là đường cao => BH2 = BD.AB ( Hệ thức lượng)
Xét tam giác AHC vuông tại H có HE là đường cao => HC2 = EC.AC
Do đó: \(\frac{AB^4}{AC^4}=\frac{BD.AB}{EC.AC}\)=> \(\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{BD}{EC}\)
Bất đẳng thức trên là hiển nhiên với a, b dương bất kì (bđt Cô-si).
Vì \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
<=> \(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
<=> \(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\)