Question

[Nhok_Conan]

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) . Gọi M là trung điểm BC . Vẽ

MD vuông góc AB tại D và ME vuông góc AC tại E 

a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật .

b) Chứng minh tứ giác BMED là hình bình hành .

c) Gọi F là điểm đối xứng với M qua E . Chứng minh tứ giác AMCF là

hình thoi .

d) Gọi N là điểm đối xứng với E qua M . Vẽ EK vuông góc BC tại K .

Chứng minh AK vuông góc NK .

Answer 1

[CauBeNguNgo Official]

B D V N M K E C

a) Xét tứ giác ADME có :

Góc A = 90⁰ ( tam giác ABC vuông tại A )

Góc D = 90⁰ ( MD vuông góc AB )

Góc E = 90⁰ ( ME vuông góc AC )

Do đó tứ giác ADME là hình chữ nhật

b) Chứng minh đúng D, E là trung điểm của AB ; AC

Chứng minh đúng DE là đường trung bình của tam giác 

ABC nên DE song song và \(DE=\frac{BC}{2}\)

Cho nên DE song song với BM và DE = BM

=> Tứ giác BDME là hình bình hành

c) Xét tứ giác AMCF có :

E là trung điểm MF ( vì M đối xứng với F qua E )

Mà E là trung điểm của AC ( cmt )

Nên tứ giác AMCF là hình bình hành 

Ta có AC vuông góc MF ( vì ME vuông góc AC )

Do đó tứ giác AMCF là hình thoi

d) Chứng minh đúng tứ giác ABNE là hình chữ nhật

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AN và BE của hình chữ nhật ABNE

trong tam giác vuông BKE có KO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BE

nên \(KO=\frac{BE}{2}\)

mà BE = AN ( đường chéo hình chữ nhật ) nên \(KO=\frac{AN}{2}\)

trong tam giác AKN có trung tuyến KO bằng nửa cạnh AN

nên tam giác AKN vuông tại A 

Vậy AK vuông góc KN

Answer 2

[CauBeNguNgo Official]

$\in $