Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lấy thêm trung điểm K của BC rồi dùng định lý Pytago tính các cạnh MB, MC, MA theo AB, AC, BC, AK
Đặt AB = AC = a \(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=a\sqrt{2}\)
Gọi I là trung điểm BC, do tam giác ABC cân nên AI cũng là đường cao.
\(AI=BI=IC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Đặt MI = x ( 0 < x < \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\) )
Ta có \(BM^2=\left(BI-MI\right)^2=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}-x\right)^2\)
\(MC^2=\left(IC+MI\right)^2=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}+x\right)^2\)
\(\Rightarrow MB^2+MC^2=2\left(\frac{a^2}{2}+x^2\right)=2\left(AI^2+MI^2\right)\)
\(=2AM^2\)
Vậy nên ta đã chứng minh được \(\forall M\in BC:BM^2+MC^2=2AM^2\)
Gọi cạnh của tam giác là a, trung điểm BC là I.
+Ta có: \(BC=a\sqrt{2};\text{ }IB=IC=\frac{IA}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
+Ta có: \(MB^2+MC^2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}-IM\right)^2+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}+IM\right)^2=a^2+2IM^2\text{ (1)}\)
+AI vừa là trung tuyến vừa là phân giác góc A nên AI là trung trực tam giác ABC.
=> Tam giác AIM vuông tại I
\(\Rightarrow AM^2=AI^2+IM^2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2+IM^2=\frac{a^2}{2}+IM^2\)
\(\Rightarrow2AM^2=a^2+2IM^2\text{ (2)}\)
Từ (1) và (2) suy ra \(MB^2+MC^2=2MA^2\)
Gọi cạnh của tam giác là a, trung điểm BC là I.
+Ta có: BC=a√2; IB=IC=IA2 =a√2
+Ta có: MB2+MC2=(a√2 −IM)2+(a√2 +IM)2=a2+2IM2 (1)
+AI vừa là trung tuyến vừa là phân giác góc A nên AI là trung trực tam giác ABC.
=> Tam giác AIM vuông tại I
⇒AM2=AI2+IM2=(a√2 )2+IM2=a22 +IM2
⇒2AM2=a2+2IM2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra MB2+MC2=2MA2
a) Ta có \(AM=AC-MC=AC-MB=b-d\)
Xét tam giác vuông ABM, theo định lý Pi-ta-go ta có:
\(c^2+\left(b-d\right)^2=d^2\Leftrightarrow c^2+b^2-2bd+d^2=d^2\)
\(\Leftrightarrow c^2+b^2-2bd=0\)
Mà tam giác ABC vuông tại A nên \(b^2+c^2=a^2\)
\(\Rightarrow a^2=2bd\Rightarrow4bc=2bd\Rightarrow d=2c\left(đpcm\right)\)
b) Xét tam giác vuông ABM có \(BM=2BA\Rightarrow\widehat{ABM}=60^o\Rightarrow\widehat{AMB}=36^o\)
Xét tam giác cân MBC có \(\widehat{AMB}\) là góc ngoài tại đỉnh cân nên \(\widehat{AMB}=2\widehat{MBC}=2\widehat{MCB}\)
\(\Rightarrow\widehat{MCB}=\widehat{MBC}=\frac{30^o}{2}=15^o\)
Vậy nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ABM}+\widehat{MBC}=60^o+15^o=75^o\)
\(\widehat{ACB}=\widehat{MCB}=15^o\)
Từ MM kẻ MEME vuông góc với ABAB, MFMF vuông góc với ACAC.
Ta có ΔEBMΔEBM vuông cân tại EE, ΔFMCΔFMC vuông cân tại FF và AEMFAEMF là hình chữ nhật.
Áp dụng định lý PytagoPytago vào các tam giác EBM,FMC,AEFEBM,FMC,AEF, ta có:
BM2=EM2+BE2=2ME2;MC2=2FM2⇒BM2+MC2=2(ME2+MF2)BM2=EM2+BE2=2ME2;MC2=2FM2⇒BM2+MC2=2(ME2+MF2) (1)
Mà AM2=EF2=ME2+MF2AM2=EF2=ME2+MF2 (2)
Từ (1),(2)(1),(2) ta có dpcmdpcm
Từ MM kẻ ME vuông góc với ABAB, MFMF vuông góc với ACAC.
Ta có ΔEBM vuông cân tại E, ΔFMC vuông cân tại F và AEMF là hình chữ nhật.
Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác EBM,FMC,AEF, ta có:
BM2=EM2+BE2=2ME2;MC2=2FM2⇒BM2+MC2=2(ME2+MF2)BM2=EM2+BE2=2ME2;MC2=2FM2⇒BM2+MC2=2(ME2+MF2) (1)
Mà AM2=EF2=ME2+MF2AM2=EF2=ME2+MF2 (2)
Từ (1),(2)(1),(2) ta có dpcm