Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A C B M G
a)Theo bài ra => Tam giác ABC vuông cân ở A
M(1;-1) là trung điểm BC và G\(\left(\dfrac{2}{3};0\right)\) là trọng tâm
=>\(\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AG}\)
Giả sử A có tọa độ (a;b)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}1-a=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{2}{3}-a\right)\\-1-b=-\dfrac{2}{3}b\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{5}{3}\\b=-3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow A\left(\dfrac{5}{3};-3\right)\)
b)Do tam giác ABC vuông cân ở A=>GM vuông góc với BC
Ta có: \(\overrightarrow{GM}=\left(\dfrac{1}{3};-1\right)\)=>VTPT của đường thẳng BC là: \(\overrightarrow{n}=\left(1;-3\right)\) có M(1;-1) thuộc BC
=>phương trình đường thẳng BC:
1(x-1)-3(y+1)=0
hay x-3y-4=0
=> phương trình tham số của BC:\(\left\{{}\begin{matrix}x=3t+4\\y=t\end{matrix}\right.\)
=> tồn tại số thực t để B(3t+4;t) thuộc đường thẳng BC
MB=MA(do tam giác ABC vuông cân ở A,M là trung điểm BC)
=>\(\overrightarrow{MB}^2=\overrightarrow{MA}^2\)
=>(3t+3)2+(t+1)2=\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-2\right)^2=\dfrac{40}{9}\)
=> \(t=-\dfrac{1}{3}\)hoặc \(t=-\dfrac{5}{3}\)
TH1: \(t=-\dfrac{1}{3}\)=>B\(\left(3;-\dfrac{1}{3}\right)\) ,do M(1;-1) là trung điểm BC=>C\(\left(-1;-\dfrac{5}{3}\right)\)
TH2:\(t=-\dfrac{5}{3}\)=>B\(\left(-1;-\dfrac{5}{3}\right)\),do M(1;-1) là trung điểm BC=>C\(\left(3;-\dfrac{1}{3}\right)\)
c) Tam giác ABC vuông cân ở A=>M(1;-1) là tâm đường tròn ngoại tiếp và MA là bán kính=>R2=MA2=\(\dfrac{40}{9}\)
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
(C): \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=\dfrac{40}{9}\)
\(I\left(\frac{3-11}{2};\frac{2+0}{2}\right)\Rightarrow I\left(-4;1\right)\)
\(G\left(\frac{3+5-11}{3};\frac{2+4+0}{3}\right)\Rightarrow G\left(-1;2\right)\)
\(M\left(-22-5;0-4\right)\Rightarrow M\left(-27;-4\right)\)
\(D\left(3+5--11;2+4-0\right)\Rightarrow D\left(19;6\right)\)
A B C M G
Vì M(1;-1) là trung điểm BC và \(G\left(\frac{2}{3};0\right)\) là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}\) từ đó tìm được A(0;2)
Vì tam giác ABC cân tại A nên \(BC\perp MA\) tức là đường thẳng BC đi qua M(1;-1), nhận \(\overrightarrow{MA}=\left(-1;3\right)\) làm vec tơ pháp tuyến.
Do đó đường thẳng BC có phương trình \(-1\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=0\)
hay \(-x+3y+4=0\)
Do tam giác ABC vuông tại A nên MB=MC=MA=\(\sqrt{10}\)
Suy ra B, C nằm trên đường tròn \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\)
Từ đó tọa độ B, C là nghiệm của hệ phương trình
\(\begin{cases}-x+3y+4=0\\\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\end{cases}\)
Giải hệ phương trình thu được (x;y) = (4;0) và (x;y) = (-2;2)
Vậy A(0;2), B(4; 0), C(-2;-2)
A B C A' B' C' a)Do A',B',C' là trung điểm BC,CA,AB=> A'B' song song với AB,B'C'song song với BC,C'A' song song với CA
\(\overrightarrow{A'B'}=\left(6;3\right)\) => VTPT của đường thẳng AB là: \(\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)\)
và C' thuộc (AB)=>Phương trình đường thẳng AB là:
(AB): x-2y-6=0
Tương tự ta có phương trình đường thẳng BC là:
(BC): x+4=0
Tọa độ điểm B là nghiệm hệ
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{x-2y-6=0}\\x+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=-5\end{matrix}\right.\)
=>B(-4;-5)
A'(-4;1) là TĐ của BC => tọa độ C(-4;7)
C'(2;-2) là TĐ của AB =>tọa độ A(8;1)
b) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác A'B'C' là G(x;y)
=>\(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=0\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-4-x\right)+\left(2-x\right)+\left(2-x\right)=0\\\left(1-y\right)+\left(4-y\right)+\left(-2-y\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\)
=>G(0;1)
Thay vào tính
Ta có:\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) =(8-4-4;1-1+7-1-5-1)=(0;0)
=>G là trọng tâm tam giác ABC=>ĐPCM
A 2 y -2 -2 4 B C x
Vì G là trọng tâm tam giác ABC, nên ta có :
\(\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}\Leftrightarrow\left(x_A-1;y_A+1\right)=3\left(\frac{2}{3}-1;0+1\right)\Leftrightarrow\begin{cases}x_A-1=1\\y_A+1=3\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow A\left(0;2\right)\)
Giả sử \(B\left(x_1;y_1\right);C\left(x_2;y_2\right)\)
Vì M là trung điểm của BC, nên ta có :
\(\begin{cases}x_1+x_2=2\\y_1+y_2=-2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x_2=2-x_1\\y_2=-2-y_1\end{cases}\)
Vậy \(C\left(2-x_1;-2-y_1\right)\)
Ta có \(\overrightarrow{BA}=\left(-x_1;2-y_1\right);\overrightarrow{CA}=\left(x_1-2;y_1+4\right)\)
Vì \(\widehat{BAC}=90^0\) nên \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}=0\)
\(\Leftrightarrow-x_1\left(x_1-2\right)+9y_1+4\left(2-y_1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-x^2_1-y^2_1+2x_1-2y_1+8=0\) (1)
Do AB = AC nên \(AB^2=AC^2\)
\(x^2_1+\left(y_1-2\right)^2=2\left(2-x_1\right)^2+\left(4-y_1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow-4y_1+4=-4x_1+4+16+8y_1\)
\(\Leftrightarrow x_1=3y_1+4\) (2)
Thay (2) vào (1) ta có :
\(y^2_1+y_1=0\Leftrightarrow\begin{cases}y_1=0\\y_1=-2\end{cases}\)
Từ đó ta có :
\(B\left(4;0\right);C\left(-2;-2\right)\) hoặc \(B\left(-2;-2\right);C\left(4;0\right)\)
Tóm lại ta có :
\(A\left(0;2\right);B\left(4;0\right);C\left(2;-2\right)\) là 3 đỉnh của tam giác cần tìm
(Tam giác kia vẫn là tam giác trên chỉ đổi B và C với nhau)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có :
\(\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}\Leftrightarrow\left(x_A-1;y_A+1\right)=3\left(\frac{2}{3}-1;0+1\right)\Leftrightarrow\begin{cases}x_A-1=-1\\y_A+1=3\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow A\left(0;2\right)\)
Ta thấy MA có hệ số góc
\(k=\frac{2-\left(-1\right)}{0-1}=-3\)
Vì \(BC\perp MA\) nên đường thẳng nối BC có hệ số góc là \(\frac{1}{3}\), do đó phương trình của nó là :
\(y=\frac{1}{3}\left(x-1\right)-1\Leftrightarrow x-3y-4=0\)
Mặt khác do :
\(MB=MC=MA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\)
Vậy tọa độ của B, C thỏa mãn phương trình đường tròn tâm M, bán kính =\(\sqrt{10}\)
\(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\)
Vậy tọa độ của B, C là nghiệm của hệ phương trình :
\(\begin{cases}x-3y-4=0\\\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\end{cases}\)
Giải hệ phương trình ta có các nghiệm (4;0) và (-2;2)
Vậy A(0;2);B(4;0);C(-2;-2) là 3 đỉnh của tam giác cần tìm
Đáp án C