Question

[Mai Dương Ngô]

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. P là trung điểm AB, MP cắt BN tại Q. \(S_{GMQ}\)= 10 cm. Tính \(S_{ABC}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta biết trong 1 tam giác, 3 đường trung tuyến đồng quy tại một điểm. Do đó trung tuyến $CP$ cắt $MP,BN$ tại $Q$ tại $G$ hay $P,G,C$ thẳng hàng.

Có: \(\frac{BP}{PA}=\frac{MB}{MC}(=1)\) nên theo định lý Ta-let đảo thì \(PM\parallel AC\)

hay \(\Rightarrow QM\parallel NC; PQ\parallel AN\)

Áp dụng hệ quả của định lý Ta-let:

\(\triangle BNC; QM\parallel NC\Rightarrow \frac{QM}{NC}=\frac{BQ}{BN}\)

\(\triangle ABN; PQ\parallel AN\Rightarrow \frac{PQ}{AN}=\frac{BQ}{BN}\)

\(\Rightarrow \frac{QM}{NC}=\frac{PQ}{AN}\). Mà \(AN=NC\Rightarrow QM=QP\)

\(\Rightarrow QM=\frac{1}{2}PM\)

Do đó: \(\frac{S_{GMQ}}{S_{GPM}}=\frac{QM}{PM}=\frac{1}{2}(1)\)

\(\frac{S_{GPM}}{S_{MPC}}=\frac{PG}{PC}=\frac{1}{3}(2)\) (theo tính chất trung tuyến và trọng tâm)

\(\frac{S_{MPC}}{S_{CPB}}=\frac{MC}{BC}=\frac{1}{2}(3)\)

\(\frac{S_{CPB}}{S_{CAB}}=\frac{PB}{AB}=\frac{1}{2}(4)\)

Từ \((1);(2);(3);(4)\Rightarrow \frac{S_{GPM}}{S_{CAB}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{24}\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=24S_{GMQ}=24.10=240(cm^2)\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: