Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp
\(S_{ABC}=S_{AIB}+S_{BIC}+S_{CIA}=\frac{1}{2}.AB.r+\frac{1}{2}.BC.r=\frac{1}{2}\)
\(AB+BC+CA.r=pr\)
P/s: Ko chắc
Vẽ đường cao AH của \(\Delta\)ABC
Ta có: \(S_{MAB}=S_{MAC}=\frac{1}{2}S_{ABC}\)mà AM > AH (AH _|_ HM)
Do đó: \(\frac{4}{a}=\frac{2\cdot AH}{S_{ABC}}\le\frac{2AM}{S_{ABC}}=\frac{AM}{S_{MAB}}\left(1\right)\)
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta\)ABC
Ta có \(S_{ABC}=S_{IBC}+S_{IAC}+S_{IAB}\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{r\cdot BC}{2}+\frac{r\cdot AC}{2}+\frac{r\cdot AB}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{r}=\frac{AB+BC+AC}{2S_{MAB}}\)
Tương tự xét \(\Delta\)MAB và \(\Delta\)MAC ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{2}{r_1}=\frac{AM+AB+\frac{BC}{2}}{S_{MAB}}\\\frac{2}{r_2}=\frac{AM+AC+\frac{BC}{2}}{A_{MAC}}\end{cases}\left(2\right)}\)
Do đó:
\(\frac{4}{a}+\frac{2}{r}\le\frac{MA}{S_{MAB}}+\frac{AB+BC+AC}{2S_{MAB}}=\frac{1}{2}\left(\frac{AM}{S_{MAB}}+\frac{AB+\frac{AC}{2}}{S_{MAB}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{AM}{S_{MAC}}+\frac{AC+\frac{BC}{2}}{S_{MAC}}\right)=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\)
Vậy \(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\ge2\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{a}\right)\)
ta có : BC = 2R ; AD = AE = r
nên 2R + r = BC + (AE + AD) = (BF + FC) + (AE + AD)
= (DB + EC) + (AE + AD) = (AD + DB) + (AE + EC)
= AB + AC ( đpcm)
Bài toán này dựa vào nhận xét sau đây: Nếu AD,BE,CF là đường cao của tam giác thì \(\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{1}{r}.\) Thực vậy, do tâm đường tròn nội tiếp chia tam giác ra thành 3 tam giác con có cùng độ dài đường cao là r. Do đó \(S=r\cdot\frac{AB+BC+CA}{2},\) với \(S\) là diện tích tam giác ABC. Mặt khác \(\frac{1}{AD}=\frac{BC}{2S},\frac{1}{BE}=\frac{CA}{2S},\frac{1}{CF}=\frac{AB}{2S}\to\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{AB+BC+CA}{2S}.\) Từ đó ta có đẳng thức.
Quay lại bài toán, từ giả thiết suy ra \(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}.\) Do quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc, ta có \(AM\ge AD,AN\ge BE,AP\ge CF\to\)các dấu bằng phải xảy ra, do đó M,N,P trùng với chân các đường cao của tam giác. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau BP=BM, suy ra hai tam giác vuông AMB và CPB bằng nhau (g.c.g). Do đó AB=CB. Tương tự BC=AC. Vậy tam giác ABC đều.
Ap dung cong thuc \(r=\frac{b+c-a}{2}\) (b=AC,c=AB , cai nay ban tu chung minh nhe)
ta co \(\frac{r}{a}=\frac{b+c-a}{2a}\le\frac{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}-a}{2a}=\frac{\sqrt{2.a^2}-a}{2a}=\frac{a\sqrt{2}-a}{2a}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
Dau = xay ra khi b=c hay tam giac ABC vuong can tai A