Question

[Once in a million]

Cho tam giác ABC. \(O\varepsilon ABC\). lấy M,N,P lần lượt là trung điểm BC,CA,AB. Lấy các điểm A1,B1,C1 sao cho M,N,P là trung điểm OA1, OB1, OC1.  Cmr: AA1, BB1, CC1 đồng quy. Giúp mình thật nhanh với. Mình tick cho. Thanks nhiều

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

A B C M O N P A1 B1 C1

Xét tứ giác AOBC₁ có: hai đường chéo AB và OC₁ cắt nhau tại trung điểm P mỗi đường  chéo

=>AOBC₁  là hình bình hành

=>  AC₁//=OB  (1)

Xét tứ giác OBA₁C có hai đường chéo OA₁và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường chéo.

=>  OBA₁C là hình bình hành

=> OB//=A₁C (2)

Từ (1), (2) => AC₁//=A₁C

=> AC₁A₁C là hình bình hành.

=> AA₁ và CC₁ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo

Chứng minh tương tự:

BC₁//=AO//=B₁C

=> BC₁B₁C là hình bình hành

=> BB1 và CC1 cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo

=> AA1; BB1; CC1 đồng quy.