Question

[Johnny]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O và trực tâm H. Tia AH cắt BC ở I, cắt đường tròn O ở E, đường kính AD.Chứng minh:

a) AB.AC=AD.AI

b)B,C,E,D là 4 đỉnh của hình thang cân

c)H và E đối xứng với nhau qua BC

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) 

Xét tam giác $ABI$ và $ADC$ có:

$\widehat{ABI}=\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ (góc nt cùng chắn cung $AC$)

$\widehat{AIB}=90^0=\widehat{ACD}$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \triangle ABI\sim \triangle ADC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AI}{AC}\Rightarrow AB.AC=AD.AI$

b) 

Vì $\triangle ABI\sim \triangle ADC$ nên $\widehat{BAI}=\widehat{DAC}$

$\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{EAC}$

$\Rightarrow \text{cung(BD)}=\text{cung(EC)}$

$\Rightarrow \widehat{EBC}=\widehat{DCB}(1)$

Lại có:

$\widehat{AED}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn) nên $AE\perp ED$. Mà $AE\perp BC$ nên $ED\parallel BC(2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra $BEDC$ là hình thang cân nên ta có đpcm. 

c) 

Ta có:

$\widehat{EBC}=\widehat{DCB}=\widehat{ACD}-\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ACB}=\widehat{HBC}$Hay $\widehat{EBI}=\widehat{HBI}$

$\Rightarrow \triangle EBI=\triangle HBI$ (g.c.g)

$\Rightarrow HI=EI$

Ta thấy $HE\perp BC$ tại $I$ và $I$ là trung điểm $HE$ nghĩa là $H,E$ đối xứng nhau qua $BC$

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: