Question

[Incognito]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). P di chuyển trên cung nhỏ BC. Dựng ra goài tam giác PBC các điểm E và F sao cho \(\Delta\)PCE ~ \(\Delta\)AOB và \(\Delta\)OBF ~ \(\Delta\)AOC. Tiếp tuyến tại P của (O) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác PCE, PBF tại M,N khác P. EM cắt FN tại Q. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác QMN luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định khi P thay đổi ?

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C P F E N M x Q S O

Gọi S là giao điểm của 2 đường tròn (PCE) và (PBF).

Trước hết, ta thấy \(\Delta\)PCE ~ \(\Delta\)AOB => ^CPE = ^OAB. Tương tự: ^BPF = ^OAC.

Suy ra: ^CPE + ^BPF = ^OAB + ^OAC = ^BAC = 180⁰ - ^BPC => E,P,F thẳng hàng => ^EPS + ^FPS = 180⁰

Mà ^FPS + ^SNF = 180⁰ nên ^EPS = ^SNF => ^EMS = ^SNQ (Vì ^EPS = ^EMS)

=> Tứ giác SMQN nội tiếp. Hay S thuộc đường tròn (QMN).

Bằng các góc nội tiếp, ta có: ^BSC = ^BSP + ^CSP = ^BFP + ^CEP = ^BAC = const. Mà BC cố định

Nên S nằm trên đường tròn đối xứng với (O) và BC => Đường tròn (BCS) cố định

Ta sẽ chứng minh: Đường tròn (QMN) tiếp xúc với (BCS) cố định (tại điểm chung S).

Thật vậy, từ S vẽ tiếp tiếp Sx của đường tròn (QMN). Dễ thấy: ^MSx = ^MNS = ^PBS (Do tứ giác BPSN nội tiếp)

Xét đường tròn (PCE): ^MSC = ^MPC = ^CBP. Từ đó: MSx + ^MSC = ^PBS + ^CBP = ^CBS

Do đó: Sx cũng là tiếp tuyến của đường tròn (BCS). Cho nên (QMN) luôn tiếp xúc (BCS) cố định (đpcm).