Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
em tự vẽ hình nha
Gọi O là trung điểm của AM
Vì tam giác AHM vuông tại H có O là trung điểm cạnh huyền AM
=> OH=OA=OM (1)
CMTT: OA=OM=OE (2)
Vì \(\hept{\begin{cases}MD\perp AB\\ME\perp AC\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}\widehat{MDA}=90^0\\\widehat{MEA}=90^0\end{cases}}\)
Xét tứ giác ADME có:
góc A= góc MDA = góc MEA = 90 độ
=> ADME là hình chữ nhật ( dhnb )
=> 2 đường chéo DE và AM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và DE=AM
Mà O là trung điểm AM
=> O là trung điểm DE
=> OD=OE (3)
Từ (1), (2) và (3) => OD=OE=OA=OM=OH
=> A,D,H,M,F cùng nằm trên 1 đường tròn
Lời giải:
a) Áp dụng các công thức trong hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với:
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$: $\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}$
$\Rightarrow AH^2=\frac{m^2n^2}{m^2+n^2}$
Tam giác $AHC$ vuông tại $H$ đường cao $HE$: $AH^2=AE.AC$
$\Leftrightarrow \frac{m^2n^2}{m^2+n^2}=AE.n\Rightarrow AE=\frac{m^2n}{m^2+n^2}$
Hoàn toàn tương tự: $AF=\frac{mn^2}{m^2+n^2}$
b) Đề đúng phải là: $EF^3=AE.BC.AF$
Xét tứ giác $AEHF$ có 3 góc vuông nên $AEHF$ là hình chữ nhật.
$\Rightarrow EF=AH\Rightarrow EF^3=AH^3(*)$
Mặt khác:
Theo phần a: $AH^2=AE.AC=AF.AB$
$\Rightarrow AH^4=AE.AF.AB.AC=AE.AF.2S_{ABC}=AE.AF.AH.BC$
$\Leftrightarrow AH^3=AE.AF.BC(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow EF^3=AE.AF.BC$ (đpcm)
c)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với tam giác $ABC$, đường cao $AH$ và tam giác vuoogn $AHC$ đường cao $HE$:
$BF.\sqrt{CH}+CE.\sqrt{BH}=AH.\sqrt{BC}$
$\Leftrightarrow BF.\sqrt{CH.CB}+CE.\sqrt{BH.BC}=AH.BC$
$\Leftrightarrow BF. \sqrt{AC^2}+CE.\sqrt{AB^2}=AH.BC$
$\Leftrightarrow BF.AC+CE.AB=AH.BC$
$\Leftrightarrow (BA-AF)AC+CE.AB=AH.BC$
$\Leftrightarrow AF.AC=CE.AB$
$\Leftrightarrow $AF.AC=\frac{HE^2}{AE}.AB$
$\Leftrightarrow AF.AC=\frac{AF^2}{AE}.AB$
$\Leftrightarrow AE.AC=AF.AB$ (luôn đúng vì cùng bằng $AH^2$)
Vậy........
b/ Gọi G là giao điểm của AB và DF
Ta có :
Góc ACQ = góc AHQ ( t/g ACHQ n.t )
Góc ACQ = góc ADF ( 2 góc n.t chắn cung AF )
=> Góc AHQ = góc ADF
Mà 2 góc ở vị trí đồng vị
Nên \(HQ//DF\)
Mặc khác \(HQ\perp AB\)tại Q
=> \(DF\perp AB\)tại G
Xét tứ giác GBNF ta có:\(B\widehat{G}F+B\widehat{N}F=180^0\)
=> Tứ giác GBNF nội tiếp =>\(N\widehat{G}F=N\widehat{B}F\)
Mà \(N\widehat{B}F=C\widehat{A}F\)( tứ giác ACBF n.t (O))
Nên \(N\widehat{G}F=C\widehat{A}F\left(1\right)\)
Xét tứ giác GMAF ta có: \(A\widehat{M}F=A\widehat{G}F\left(=90^0\right)\)
=> Tứ giác GMAF n.t =>\(M\widehat{A}F+M\widehat{G}F=180^0\left(2\right)\)
(1) và (2) => \(N\widehat{G}F+M\widehat{G}F=180^0\)
=> \(\overline{M,G,N}\)
Mà G là giao điểm của AB và DF
Nên MN,AB,DF đồng quy tại G
MN là đường thẳng simson nha bạn
