Question

[Bảo Ngọc Phan Trần]

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC), ba đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Kéo dài EF và BC cắt ngay tại I. Gọi M là trung điểm BC. A. Chứng minh: IE.IF=IM^2-(BC^2/4)
B. Gọi N là trung điểm AH. Chứng minh MN vuông góc EF

Answer 1

[Trần Quốc Khanh]

a/\(\Delta AEB\sim\Delta AFC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

\(\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC},chung\widehat{A}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AEF}+\widehat{BEI}=90\\\widehat{ABC}+\widehat{FCI}=90\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\widehat{BEI}=\widehat{FCI}\left(1\right)\)

Từ (1) và I chung nên \(\Delta IBE\sim\Delta IFC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{IB}{IF}=\frac{IE}{IC}\)

\(\Rightarrow IB.IC=IE.IF\)(2)

Mà: \(IM^2-\frac{BC^2}{4}=\left(IM-\frac{BC}{2}\right)\left(IM+\frac{BC}{2}\right)=\left(IM-BM\right)\left(IM+MC\right)=IB.IC\)

Cộng với (2) có ĐPCM