Question

[Hoa Thiên Cốt]

Cho tam giác ABC, gọi M₁ là một điểm tuỳ ý, M₂ đối xứng với M₁ qua A, M₃ đối xứng với M₂ qua B, M₄ đối xứng với M₃ qua C. Chứng minh: Trung điểm của M₁M₄ là một điểm cố định

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C M M M M 1 2 4 3 S

Gọi S là trung điểm của M₁M₄. Ta đi c/m S là điểm cố định.

Trong \(\Delta\)M₁M₂M₄ có: A là trung điểm M₁M₂; S là trung điểm M₁M₄ => AS là đường trung bình \(\Delta\)M₁M₂M₄

=> AS = M₂M₄ /2 và AS // M₂M₄  (1)

Trong \(\Delta\)M₂M₃M₄ có: B là trung điểm M₂M₃ ; C là trung điểm M₃M₄ => BC là đường trung bình \(\Delta\)M₂M₃M₄

=> BC = M₂M₄ /2 và BC // M₂M₄ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AS = BC và AS // BC => Tứ giác ABCS là hình bình hành.

Ta thấy: Hình bình hành ABCS có 3 đỉnh A;B;C cố định nên đỉnh S cố định

=> Trung điểm của M₁M₄ là một điểm cố định (đpcm).