Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
+ ) Ta thấy ngay hai tam giác vuông AHC và ANC có chung cạnh huyền AC nên A, H, N, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
\(\Rightarrow\widehat{HNA}=\widehat{HCA}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH)
Ta thấy ngay hai tam giác vuông AMB và AHB có chung cạnh huyền AB nên A, M, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.
\(\Rightarrow\widehat{HMN}=\widehat{ABH}\) (Góc ngoài tại đỉnh đối diện bằng góc trong tại đỉnh)
Vậy nên \(\Delta ABC\sim\Delta HMN\left(g-g\right)\)
+) Ta có \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Mà \(\Delta ABC\sim\Delta HMN\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{HMN}\)
nên \(\widehat{ADC}=\widehat{HMN}\)
Chúng lại ở vị trí so le trong nên DC // HM
Ta có \(DC\perp AC\Rightarrow HM\perp AC\)
Gọi J là trung điểm AB
Ta có ngay IJ là đường trung bình tam giác ABC nên IJ // AC
Vậy nên \(HM\perp IJ\)
Mà J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHB nên IJ vuông góc cung HM tại trung điểm HM hay IJ là trung trực của HM.
Vậy thì IM = IH.
Tương tự ta có IM = IH = IN hay I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN.
A B C M N D E
Ta có ^MEN = ^NBD + ^MCD = 1800 - ^MAN. Suy ra tứ giác AMEN nội tiếp
Cũng dễ có tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn (BC)
Từ đó ^AEM = ^ANM = ^MCB = ^MCD = 1800 - ^MED. Hay ^AEM + ^MED = 1800
Vậy thì A,E,D thẳng hàng (đpcm).
Ta có ^BCN = ^BMN ( do tứ giác BNMC nội tiếp )
=> ^NBC = ^AMN ( cùng phụ với hai góc bằng nhau ) (1)
Mặt khác do BDEN và CDEM là các tứ giác nội tiếp chung cạnh DE
Nên ^NBD + ^MCD = ^NEM ( tính chất góc ngoài tứ giác nội tiếp )
Mà ^NBD + ^MCD + ^NAM = 1800
Suy ra ^NEM + ^NAM = 1800 . Vây AMEN nội tiếp
Do đó: ^AMN = ^AEN (2)
Từ (1) và (2) suy ra ^NBD = ^AEN
Mà ^NBD + ^DEN = 1800 (do BDEN nội tiếp)
Nên ^DEN + ^AEN = 1800 => ^AED=1800 .
Vậy ba điểm A, E, D thẳng hàng (đpcm)