Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\dfrac{tanA}{tan^3B}=\dfrac{tanA}{tanB}.\dfrac{1}{tan^2B}=\dfrac{\dfrac{sinA}{cosA}}{\dfrac{sinB}{cosB}}.\dfrac{cos^2B}{sin^2B}\)
\(=\dfrac{sinA}{sinB}.\dfrac{cosB}{cosA}.\dfrac{cos^2B}{sin^2B}\)
\(=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}.\dfrac{\left(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)^2}{1-\left(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)^2}\)
\(=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{b^2+c^2-a^2}.\dfrac{\left(a^2+c^2-b^2\right)^2}{\left(2ac\right)^2-\left(a^2+c^2-b^2\right)^2}\)
\(=\dfrac{\left(a^2+c^2-b^2\right)^3}{b^2+c^2-a^2}.\dfrac{1}{\left[\left(a+c\right)^2-b^2\right]\left[b^2-\left(a-c\right)^2\right]}\)
\(=\dfrac{\left(a^2+c^2-b^2\right)^3}{b^2+c^2-a^2}.\dfrac{1}{\left(a+b+c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)}\)
Biến đổi tương tự, ta có BĐT tương đương với BĐT đã cho:
\(\dfrac{\left(a^2+c^2-b^2\right)^3}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{\left(a^2+b^2-c^2\right)^3}{a^2+c^2-b^2}+\dfrac{\left(b^2+c^2-a^2\right)^3}{a^2+b^2-c^2}\ge\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\)
Ta có BĐT phụ sau:
\(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}\ge xy+yz+xz\left(\text{*}\right)\) với \(x,y,z>0\)
Chứng minh:
Áp dụng BĐT cộng mẫu:
\(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}=\dfrac{x^4}{xy}+\dfrac{y^4}{yz}+\dfrac{z^4}{xz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+xz}\ge\dfrac{\left(xy+yz+xz\right)^2}{xy+yz+xz}=xy+yz+xz\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)
Áp dụng BĐT \(\left(\text{*}\right)\), với đk \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn, ta có:
\(\dfrac{\left(a^2+c^2-b^2\right)^3}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{\left(a^2+b^2-c^2\right)^3}{a^2+c^2-b^2}+\dfrac{\left(b^2+c^2-a^2\right)^3}{a^2+b^2-c^2}\ge\left(a^2+c^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)+\left(a^2+b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)+\left(b^2+c^2-a^2\right)\left(a^2+c^2-b^2\right)\)
Ta chứng minh được:
\(\left(a^2+c^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)+\left(a^2+b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)+\left(b^2+c^2-a^2\right)\left(a^2+c^2-b^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\)
\(=-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2\)
Vậy ta có BĐT cần chứng minh, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^0\)
mình làm cách này là cách khj nào mà ko cách nào khác ms làm vậy thôi, áp dụng định lí sin và cosin trong tam giác
a) \(cos\left(A+B\right)+cosC=0\)
\(\Leftrightarrow cos\left(\pi-C\right)+cosC=0\)
\(\Leftrightarrow-cosC+cosC=0\)
\(\Leftrightarrow0=0\left(đúng\right)\)
\(\Leftrightarrow dpcm\)
b) \(cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)=sin\dfrac{C}{2}\)
\(\Leftrightarrow cos\left(\dfrac{\pi-C}{2}\right)=sin\dfrac{C}{2}\)
\(\Leftrightarrow cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{C}{2}\right)=sin\dfrac{C}{2}\)
\(\Leftrightarrow sin\dfrac{C}{2}=sin\dfrac{C}{2}\left(đúng\right)\)
\(\Leftrightarrow dpcm\)
c) \(cos\left(A-B\right)+cos\left(2B+C\right)=0\left(1\right)\)
Ta có : \(A+B+C=\pi\)
\(\Leftrightarrow2B+C=\pi-A+B\)
\(\Leftrightarrow2B+C=\pi-\left(A-B\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)+cos\left[\pi-\left(A-B\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)-cos\left(A-B\right)=0\)
\(\Leftrightarrow0=0\left(đúng\right)\)
\(\Leftrightarrow dpcm\)
Ảnh của A, B, C lần lượt là trung điểm A', B', C' của các cạnh HA, HB, HC.
Ảnh của A, B, C lần lượt là trung điểm A', B', C' của các cạnh HA, HB, HC.
nếu \(\frac{tanB}{tanC}=\frac{sin^2B}{sin^2C}\) thì làm kiểu này
\(\frac{tanB}{tanC}=\frac{sin^2B}{sin^2C}=>\frac{sinB.cosC}{cosB.sinC}-\frac{sin^2B}{sin^2C}=0
\)
\(\frac{sinB}{sinC}\left(\frac{cosC}{cosB}-\frac{sinB}{sinC}\right)=0=>sinB=0\left(bỏ\right)\)
\(\frac{cosC}{cosB}-\frac{sinB}{sinC}=0=>sinC.cosC=sinB.cosB\)
\(sin2C=sin2B=>B=C\) hoặc \(\widehat{B}+\widehat{C}=\frac{\pi}{2}\)
tam giác vuông hoặc cân tại A
1) ta co ket qua nhu sau:
sinAcosA+cosAcosB = sinAsinB+sinAcosA
<=> cosAcosB-sinAsinB=0
<=>cos(A+B)=0
<=> -cosC=0 (vi A+B+C=180)
hay cosC=0 => C=90
\(\Rightarrow \tan A+\tan C=2\tan B\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sin\left ( A+C \right )}{\cos A\cos C}=2\cdot\frac{\sin\left ( A+C \right )}{\cos B}\\\)
\(\Rightarrow \cos B=2\cos A\cos C\)
\(\Leftrightarrow 2\cos B=\cos(A-C)\)
\(\left (\cos A+\cos C \right )^2=\cos^2 A+\cos^2 C+2\cos A\cos C\\=\frac{\cos2A+\cos2C}{2}+1+\cos B\\=-\cos(B)\cos(A-C)+1+\cos B \\=-2\cos^2B+\cos B+1 \le \frac{9}{8}\\\Rightarrow \cos A+\cos C\le \frac{3\sqrt2}{4}\)
Chứng minh hoàn tất.