Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D O M
a) BC vuông góc với AO là theo tính chất hai tiếp tuyến đi qua 1 điểm A
b) Xét hai tam giác DCO và DBA có góc D chung và góc C = góc B = 90 độ (tính chất tiếp tuyến)
=> tam giác DCO đồng dạng với tam giác DBA
=> DC/DB = DO/DA
=> DC.DA = DO.DB (đpcm)
c) Vì OM vuông góc với DB => OM // BA (cùng vuông góc với DB)
Ta có AM/DM + 1 = (AM + DM)/DM = DA/DM
Theo Viet ta có: DA/DM = AB/MO
=> AM/DM + 1 = AB/OM
=> AB/OM - AM/DM = 1 (*)
Ta lại có tam giác MOA cân (vì góc MOA = góc BAO do so le trong, góc MAO = góc BAO do tính chất hai tiếp tuyến cùng 1 điểm)
=> OM = AM
(*) trở thành: AB/AM - AM/DM = 1 (đpcm)
a) \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{AM}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AN}\)
b) Kẻ hình bình hành AMPN, ta có:
\(\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
c: \(AM^2=\dfrac{2\cdot\left(AB^2+AC^2\right)-BC^2}{4}=\dfrac{2\cdot\left(48^2+14^2\right)-50^2}{4}=625\)
nên AM=25(cm)
a: Xét ΔAHB vuông tại H có
\(AB^2=AH^2+HB^2\)
nên AH=16(cm)
Xét ΔAHC vuông tại H và ΔBKC vuông tại K có
\(\widehat{C}\) chung
Do đó: ΔAHC\(\sim\)ΔBKC
Suy ra: \(\dfrac{AH}{BK}=\dfrac{HC}{KC}=\dfrac{AC}{BC}\)
=>16/BK=20/24=5/6
=>BK=19,2(cm)
A B C M G
Vì M(1;-1) là trung điểm BC và \(G\left(\frac{2}{3};0\right)\) là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}\) từ đó tìm được A(0;2)
Vì tam giác ABC cân tại A nên \(BC\perp MA\) tức là đường thẳng BC đi qua M(1;-1), nhận \(\overrightarrow{MA}=\left(-1;3\right)\) làm vec tơ pháp tuyến.
Do đó đường thẳng BC có phương trình \(-1\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=0\)
hay \(-x+3y+4=0\)
Do tam giác ABC vuông tại A nên MB=MC=MA=\(\sqrt{10}\)
Suy ra B, C nằm trên đường tròn \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\)
Từ đó tọa độ B, C là nghiệm của hệ phương trình
\(\begin{cases}-x+3y+4=0\\\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\end{cases}\)
Giải hệ phương trình thu được (x;y) = (4;0) và (x;y) = (-2;2)
Vậy A(0;2), B(4; 0), C(-2;-2)
a/ \(\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
\(=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\)
Hmm, MN làm sao vuông góc vs BC đc. Nó chỉ vuông góc khi M là TĐ của AC thôi, bởi N là trung điểm của BC rồi mà, hại não :((
2/\(\overrightarrow{BK}=\frac{4}{13}\overrightarrow{BA}\Rightarrow\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CK}=\frac{4}{13}\overrightarrow{BC}+\frac{4}{13}\overrightarrow{CA}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CK}=\frac{9}{13}\overrightarrow{CB}+\frac{4}{13}\overrightarrow{CA}\)
\(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\)
Ta có : \(\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}\Rightarrow3\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{18}\overrightarrow{CA}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{6}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{18}\overrightarrow{CA}\)
\(=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{CA}\)
Có \(\overrightarrow{CK}=\frac{18}{13}\overrightarrow{CG}\Rightarrow\) C,G,K thẳng hàng
A 2 y -2 -2 4 B C x
Vì G là trọng tâm tam giác ABC, nên ta có :
\(\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}\Leftrightarrow\left(x_A-1;y_A+1\right)=3\left(\frac{2}{3}-1;0+1\right)\Leftrightarrow\begin{cases}x_A-1=1\\y_A+1=3\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow A\left(0;2\right)\)
Giả sử \(B\left(x_1;y_1\right);C\left(x_2;y_2\right)\)
Vì M là trung điểm của BC, nên ta có :
\(\begin{cases}x_1+x_2=2\\y_1+y_2=-2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x_2=2-x_1\\y_2=-2-y_1\end{cases}\)
Vậy \(C\left(2-x_1;-2-y_1\right)\)
Ta có \(\overrightarrow{BA}=\left(-x_1;2-y_1\right);\overrightarrow{CA}=\left(x_1-2;y_1+4\right)\)
Vì \(\widehat{BAC}=90^0\) nên \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}=0\)
\(\Leftrightarrow-x_1\left(x_1-2\right)+9y_1+4\left(2-y_1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-x^2_1-y^2_1+2x_1-2y_1+8=0\) (1)
Do AB = AC nên \(AB^2=AC^2\)
\(x^2_1+\left(y_1-2\right)^2=2\left(2-x_1\right)^2+\left(4-y_1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow-4y_1+4=-4x_1+4+16+8y_1\)
\(\Leftrightarrow x_1=3y_1+4\) (2)
Thay (2) vào (1) ta có :
\(y^2_1+y_1=0\Leftrightarrow\begin{cases}y_1=0\\y_1=-2\end{cases}\)
Từ đó ta có :
\(B\left(4;0\right);C\left(-2;-2\right)\) hoặc \(B\left(-2;-2\right);C\left(4;0\right)\)
Tóm lại ta có :
\(A\left(0;2\right);B\left(4;0\right);C\left(2;-2\right)\) là 3 đỉnh của tam giác cần tìm
(Tam giác kia vẫn là tam giác trên chỉ đổi B và C với nhau)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có :
\(\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}\Leftrightarrow\left(x_A-1;y_A+1\right)=3\left(\frac{2}{3}-1;0+1\right)\Leftrightarrow\begin{cases}x_A-1=-1\\y_A+1=3\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow A\left(0;2\right)\)
Ta thấy MA có hệ số góc
\(k=\frac{2-\left(-1\right)}{0-1}=-3\)
Vì \(BC\perp MA\) nên đường thẳng nối BC có hệ số góc là \(\frac{1}{3}\), do đó phương trình của nó là :
\(y=\frac{1}{3}\left(x-1\right)-1\Leftrightarrow x-3y-4=0\)
Mặt khác do :
\(MB=MC=MA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\)
Vậy tọa độ của B, C thỏa mãn phương trình đường tròn tâm M, bán kính =\(\sqrt{10}\)
\(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\)
Vậy tọa độ của B, C là nghiệm của hệ phương trình :
\(\begin{cases}x-3y-4=0\\\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\end{cases}\)
Giải hệ phương trình ta có các nghiệm (4;0) và (-2;2)
Vậy A(0;2);B(4;0);C(-2;-2) là 3 đỉnh của tam giác cần tìm