Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(a+b+c\right)^2-9ab\le\left(a+b+c\right)^2-9a^2=\left(a+b+c-3a\right)\left(a+b+c+3a\right)=\left(b+c-2a\right)\left(4a+b+c\right)\)
Vì \(a\ge b\ge c\Leftrightarrow b+c-2a\le0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2-9ab\le0\)=> dpcm
\(A=\frac{a^3}{b+c-a}+\frac{b^3}{c+a-b}+\frac{c^3}{a+b-c}=\frac{a^4}{ab+ac-a^2}+\frac{b^4}{ba+bc-b^2}+\frac{c^4}{ca+cb-c^2}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}=a^2+b^2+c^2\)
Áp dụng bđt Mincopxki:
\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)
\(=\sqrt{2\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)
Cách này có được không ạ?Tình cờ nghĩ ra thôi ạ!
Ta chứng minh BĐT phụ: \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+b\right)\) với a,b > 0 (do a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác)
Bình phương hai vế,ta cần c/m \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+2ab\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (đúng).Dấu "=' xảy ra khi a= b.
Do đó \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+b\right)\)
Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế,ta có đpcm.
Ta có : \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\ge\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}\)
\(\Leftrightarrow b\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{c}\right)+c\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)+a\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2\left(c-a\right)}{abc}+\frac{c^2\left(a-b\right)}{abc}+\frac{a^2\left(b-c\right)}{abc}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{abc}\left(b^2c-b^2a+c^2a-c^2b+a^2b-a^2c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{bc\left(b-c\right)+ab\left(a-b\right)+ac\left(c-a\right)}{abc}\ge0\) (*)
Xét \(bc\left(b-c\right)+ab\left(a-b\right)+ac\left(c-a\right)=bc\left[-\left(c-a\right)-\left(a-b\right)\right]+ab\left(a-b\right)+ac\left(c-a\right)\)
\(=-bc\left(c-a\right)-bc\left(a-b\right)+ab\left(a-b\right)+ac\left(c-a\right)\)
\(=c\left(c-a\right)\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)\left(a-c\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)
Vì \(a\ge b\ge c\) nên \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\ge0\)
Suy ra (*) luôn đúng
Vậy ta có đpcm
ta có \(a\ge b\ge c\)
zì \(c\le b\)nên \(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a+2b\right)^2\)
do zậy ta chỉ cần chứng minh \(9ab\ge\left(a+2b\right)^2\)
tương đương zới \(a^2-5ab+4b^2\le0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-4b\right)\le0\)
zì \(a\ge b\)zà theo bất đẳng thức tam giác có \(a< b+c\le2b\le4b\)nên điều trên luôn đúng
zậy bất đẳng thức đc CM . dấu "=" xảy ra khi zà chỉ khi a=b=c hay tam giác ABC đều