Question

[Nguyễn Thuỳ Mai Anh]

Cho tam giác ABC có AB=3a, AC=4a, BC=5a. Kẻ AH vuông góc BC, HF vuông góc AC, HE vuông góc AB, M là trung điểm của HB, N là trung điểm HC. CM

a, AEHF là hcn

b, tgiac AEF ~CAB

c, EMNF là hthang. tính S_EMNF

Answer 1

[Kiyotaka Ayanokoji]

a, Xét \(\Delta ABC\) có:

\(BC^2=\left(5a\right)^2=25a^2\)

\(AB^2+AC^2=\left(3a\right)^2+\left(4a\right)^2=9a^2+16a^2=25a^2\)

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại A ( ĐL Pytago đảo )

Xét tứ giác \(AEHF\)có 

\(\widehat{EAF}=90^0\left(cmt\right)\)

\(\widehat{AEH}=90^0\left(HE\perp AB\right)\)

\(\widehat{AFH}=90^0\left(HF\perp AC\right)\)

\(\Rightarrow AEHF\)là hình chữ nhật (DHNB)

b, Xét \(\Delta AHB\), \(\widehat{AHB}=90^0,HE\perp AB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AH^2=AE.AB\)( Hệ thức lượng trong tam giác vuông ) (1)

Xét \(\Delta AHC\), \(\widehat{AHC}=90^0,HF\perp AC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AH^2=AF.AC\)( Hệ thức lượng trong tam giác vuông ) (2)

Từ (1) (2) ta có \(AE.AB=AF.AC\)

                    \(\Leftrightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ACB\)có 

\(\widehat{A}\) chung 

\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AEF\infty\Delta ACB\left(c-g-c\right)\)

c, Ta có \(EH\perp AB\), \(AC\perp AB\) \(\Rightarrow EH//AC\)(từ vuông góc đến song song)

             \(FH\perp AC\), \(AB\perp AC\)  \(\Rightarrow FH//AB\)(từ vuông góc đén song song)

 -Xét ΔBEH vg tại E có EM là trung tuyến

=> \(ME=MH=MB=\frac{1}{2}BH\)

=> Δ MEH cân tại M

=> \(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\) mà \(\widehat{MHE}=\widehat{BCA}\) ( đồng vị - EH//AC)

=> \(\widehat{MEH}=\widehat{BCA}\) (1)

- Ta có: \(\widehat{HEF}=\widehat{HAF}\) (t/c HCN)

\(\widehat{HAF}+\widehat{BCA}=90^0\)

=> \(\widehat{HEF}+\widehat{BCA}=90^0\) (2)

Từ (1) và (2) =>\(\widehat{MEH}+\widehat{HEF}=90^0\) hay ME⊥EF (*)

+ Tương tự ta có: NF⊥EF (**)

Từ (*) và (**) => EM//FN => MEFN là hình thang

Mặt khác có: \(\widehat{MEF}=\widehat{EFN}=90^0\) (CMT)

=> MEFN là hình thang vuông( đpcm)

Ta có \(S_{EMNF}=\frac{1}{2}.\left(EM+FN\right).EF\)

Mà \(EM+FN=\frac{BH}{2}+\frac{CH}{2}=\frac{BH+CH}{2}=\frac{BC}{2}=\frac{5a}{2}=2,5a\)

  Xét \(\Delta ABC\), \(\widehat{BAC}=90^0,AH\perp BC\)có 

\(AB.AC=AH.BC\)( Hệ thức lượng trong tam giác vuông )

\(\Leftrightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3a.4a}{5a}=2,4a\)

\(\Rightarrow S_{EMNF}=\frac{1}{2}\times2,5a\times2,4a=3a^2\)