Question

[Trình]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, H là trực tâm.  

Biết \(\frac{AH}{BC}=\frac{BH}{CA}=\frac{CH}{AB}\)

CHỨNG MINH TAM GIÁC ABC ĐỀU

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Bổ đề: Cho đường tròn (O) với 2 dây AX,AY. Gọi Z,T lần lượt là hình chiếu của O trên AX,AY. Biết \(\frac{OZ}{AX}=\frac{OT}{AY}\). Khi đó AX = AY.

A X Y O Z T A B C H O M C'

Chứng minh bổ đề (Quan sát hình bên trái): Thấy ngay Z và T lần lượt là trung điểm của AX,AY

Kết hợp \(\frac{OZ}{AX}=\frac{OT}{AY}\)suy ra \(\frac{OZ}{AZ}=\frac{OT}{AT}\). Mà ^OZA = ^OTA (=90⁰) nên \(\Delta\)OAZ ~ \(\Delta\)OAT (c.g.c)

=> ^OAZ = ^OAT => 2 tam giác cân tại O: \(\Delta\)AOX và \(\Delta\)AOY bằng nhau => AX = AY.

Giải bài toán: Vẽ (O) ngoại tiếp \(\Delta\)ABC. Gọi M,N,P thứ tự là hình chiếu của O lên BC,CA,AB

Kẻ đường kính CC'. Khi đó AC' // BH (Cùng vuông góc AC), BC' // AH

Do vậy tứ giác AC'BH là hình bình hành => AH = BC' = 2OM (Vì OM là đường trung bình \(\Delta\)CBC')

Tương tự BH = 2ON, CH = 2OP. Từ đó kết hợp với giả thiết \(\frac{AH}{BC}=\frac{BH}{CA}=\frac{CH}{AB}\)

Suy ra \(\frac{OM}{BC}=\frac{ON}{CA}=\frac{OP}{AB}\). Áp dụng Bổ đề ta thu được AB=BC=CA

Vậy nên tam giác ABC là tam giác đều (đpcm).

Answer 2

[Phùng Minh Quân]

vừa nghĩ được một cách dễ hơn dùng tam giác đồng dạng, ta chứng minh được \(BC.AH=CA.BH=AB.CH\)

\(\frac{AH}{BC}=\frac{BH}{CA}=\frac{CH}{AB}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{BC.AH}{BC^2}=\frac{CA.BH}{CA^2}=\frac{AB.CH}{AB^2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{CA^2}=\frac{1}{AB^2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(AB=BC=CA\)