Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Kẻ Ax là tiếp tuyến tại A với (O).
Có: xABˆ=ACBˆ(=12sđAB⌢)
Xét ΔvABDΔvABD, có:
BACˆBAC^: chung;
⇒ΔvABD∼ΔvACE(gn)⇒ΔvABD∼ΔvACE(gn)
⇒ABAD=AEAC⇒ABAD=AEAC
mà BACˆBAC^ chung
⇒ΔADE∼ΔABC(cgc)⇒ΔADE∼ΔABC(cgc)
⇒AEDˆ=ACBˆ=xABˆ⇒AED^=ACB^=xAB^(ở vị trí SLT)
⇒Ax//DE
mà Ax⊥OA NÊN DE⊥OA
Ta có: AM là đường cao thứ 3( đi qua trực tâm H)
Xét ΔBMHΔBMH và ΔBDCΔBDC có:
BMHˆ=BDCˆ(=900)BMH^=BDC^(=900)
BˆB^ chung
⇒ΔBMH≈ΔBDC(g−g)⇒ΔBMH≈ΔBDC(g−g)
⇒BMBD=BHBC⇒BMBD=BHBC⇔BD.BH=BM.BC(1)⇔BD.BH=BM.BC(1)
Xét ΔCMHΔCMH và ΔCEBΔCEB có:
CMHˆ=CEBˆ(=900)CMH^=CEB^(=900)
CˆC^ chung
⇒ΔCMH=ΔCEB(g−g)⇒ΔCMH=ΔCEB(g−g)
⇒CMCH=CECB⇔CH.CE=BC.CM(2)⇒CMCH=CECB⇔CH.CE=BC.CM(2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được:
BD.BH+CH.CE=BM.BC+BC.CMBD.BH+CH.CE=BM.BC+BC.CM
⇒BD.BH+CH.CE=BC.(BM+CM)=BC2(đpcm)⇒BD.BH+CH.CE=BC.(BM+CM)
=BC2(đpcm)
đặt AB=c, BC=a, AC=c.
để chứng minh bđt trên ta sẽ áp dụng công thức: \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.a.b.sinC=\frac{1}{2}.b.c.sinA=\frac{1}{2}.a.c.sinB\)
ta có: \(\frac{sinA}{sinB+sinC}+\frac{sinB}{sinA+sinC}+\frac{sinC}{sinA+sinB}\)
\(=\frac{a.b.c.sinA}{a.b.c.sinB+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinB}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinC}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinB}\)
;\(=\frac{2S_{\Delta ABC}.a}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.c}+\frac{2S_{\Delta ABC}.b}{2.S_{\Delta ABC}.c+2.S_{\Delta ABC}.b}+\frac{2S_{\Delta ABC}.c}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.a}\)
\(=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\).
Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
nên \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1.\)
Ta sẽ chứng minh bđt phụ: \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\left(1\right)\)
Thật vậy: \(\left(1\right)\Leftrightarrow a^2< a\left(b+c\right)\Leftrightarrow a< b+c\)(đúng vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác).
tương tự: \(\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\).
suy ra: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\).
vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.