Question

[Nguyễn Tuệ Minh]

Cho tam giác ABC cân tại A, trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy M, N sao cho AM=AN. Chứng minh rằng:

     a) Các hình chiếu của BM và CN trên BC bằng nhau;          b) \(BN>\frac{\left(BC+MN\right)}{2}\) .

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

A B C M N H K

a) Gọi H; K là hình chiếu của M, N lên BC 

=> BH; CK lần lượt là hình chiếu của BM và CN trên BC

Ta có: \(\Delta\)ABC cân 

=> AB = AC  mà AM = AN => MB = MC 

Xét \(\Delta\)MBH và \(\Delta\)NCK có: 

^BHM = ^CKN = 90 độ 

^MBH = ^NCK ( \(\Delta\)ABC cân => ^ABC = ^ACB ) 

MB = MC ( chứng minh trên ) 

=> \(\Delta\)MBH = \(\Delta\)NCK

=> BH = CK 

b) Xét \(\Delta\)BNK vuông tại K  có BN là cạnh huyền 

=> BN > BK 

=> 2BN > 2BK = 2 ( BH + HK )

=> 2BN > BH + BH + HK + HK 

=> 2BN > BH + CK + HK + HK = BC + HK  (1)

Chứng minh: HK = MN 

Xét \(\Delta\)MHK và \(\Delta\)KNM  có:

KM chung;

MH = NK ( \(\Delta\)MBH = \(\Delta\)NCK ) ;

^HMK = ^NKM ( so le trong;  MH //NK vì cùng vuông góc với BC ) 

=> \(\Delta\)MHK = \(\Delta\)KMN 

=> HK = MN  (2) 

Từ (1) ; (2) => 2BN = (BC + MN) => BN > (BC + MN)/2