Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\Leftrightarrow x^2+y^2+y^3\ge x^3+y^2+y^4\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có \(y^4+y^2\ge2y^3\)
\(\Rightarrow x^2+y^3+y^2\ge x^3+2y^3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2\left(1\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz ta có
\(\left(x^2+y^2\right)^2\le\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{x^3}\right)^2+\left(\sqrt{y^3}\right)^2\right]=\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\le\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\le x+y\left(2\right)\)
Lại có
\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\le2\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow x+y\le2\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) => đpcm
Đối với bài này ta cũng có thể chia các khoảng giá trị để chứng minh
(Nhưng hơi dài và khó hiểu nên mình k làm )
Học tốt!!!!!!!!!
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^2+y^3\geq x^3+y^4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+y^3\geq x^3+y^4+y^2\geq x^3+2\sqrt{y^6}=x^3+2y^3\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\geq x^3+y^3(1)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x+y^2)(x^2+y^3)\geq (x+y^2)(x^3+y^4)\geq (x^2+y^3)^2\)
\(\Rightarrow x+y^2\geq x^2+y^3\)
\(\Rightarrow x+y+y^2\geq x^2+y^3+y\geq x^2+2\sqrt{y^4}=x^2+2y^2\) (AM-GM)
\(\Rightarrow x+y\geq x^2+y^2\) (2)
Lại áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\) . Suy ra \(x+y\geq x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 1\geq \frac{x+y}{2}\Rightarrow x+y\leq 2(3)\)
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra \(x^3+y^3\leq x^2+y^2\leq x+y\leq 2\)
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)
\(\Rightarrow4\left(x+y\right)^2\ge\left(x^2+y^2\right)^4\) \(\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) \(\Rightarrow8\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^4\)
\(\Rightarrow8\ge\left(x^2+y^2\right)^3\)
\(\Rightarrow2\ge x^2+y^2\)hay \(x^2+y^2\le2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có
x^3+x^3+1\ge3\sqrt[3]{x^3.x^3.1}\Leftrightarrow2x^3+1\ge3x^2x3+x3+1≥33x3.x3.1⇔2x3+1≥3x2, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=1x=1.
Tương tự, 2y^3+1\ge3y^22y3+1≥3y2. Cộng theo vế hai bất đẳng thức nhận được ta có
2\left(x^3+y^3\right)+2\ge3\left(x^2+y^2\right)2(x3+y3)+2≥3(x2+y2)
Sử dụng giả thiết x^3+y^3=2x3+y3=2 suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=1x=y=