Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(S=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)
\(S\ge\frac{4\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\frac{4\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\) khi \(x=y\)
Thay \(x=\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\) vào chỗ \(\sqrt{x^2-1}\)
\(Q=\dfrac{xyz}{z^3\left(x+y\right)}+\dfrac{xyz}{x^3\left(y+z\right)}+\dfrac{xyz}{y^3\left(x+z\right)}\)
\(=\dfrac{1}{z^3\left(x+y\right)}+\dfrac{1}{y^3\left(x+z\right)}+\dfrac{1}{x^3\left(y+z\right)}\) (vì xyz = 1)
\(=\dfrac{\left(\dfrac{1}{z}\right)^2}{z\left(x+y\right)}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{y}\right)^2}{y\left(x+z\right)}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)^2}{x\left(y+z\right)}\)
Áp dụng BĐT cauchy schwarz với x,y,z > 0 ta có:
\(Q\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\dfrac{\left(xy+yz+xz\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\dfrac{xy+yz+xz}{2}\)Mặt khác theo BĐT cauchy với x;y;z>0 thì
\(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\)
Vậy MinQ = \(\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Giá trị nhỏ nhất là 9/2
\(\dfrac{9}{2}\)