Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2+y^2=\dfrac{50}{7}xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-\dfrac{50}{7}xy+y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=7y\left(loai\right)\\x=\dfrac{1}{7}y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac{\dfrac{1}{7}y-y}{\dfrac{1}{7}y+y}\)
\(\Rightarrow P=-\dfrac{3}{4}=-0,75\)
\(\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{10}{3}\Rightarrow\dfrac{x^2+y^2}{10}=\dfrac{xy}{3}\)
Đặt \(\dfrac{x^2+y^2}{10}=\dfrac{xy}{3}=k\) (k > 0)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=10k\\xy=3k\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy=10k+2.3k=16k\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=16k\Rightarrow x+y=4\sqrt{k}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2xy=10k-2.3k=4k\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=4k\Rightarrow x-y=2\sqrt{k}\)
Ta có \(M=\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac{2\sqrt{k}}{4\sqrt{k}}=\dfrac{1}{2}\)
Câu 1:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(x^4+y^2\geq 2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y\Rightarrow \frac{x}{x^4+y^2}\leq \frac{x}{2x^2y}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(1)\)
\(x^2+y^4\geq 2\sqrt{x^2y^4}=2xy^2\Rightarrow \frac{y}{x^2+y^4}\leq \frac{y}{2xy^2}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(2)\)
Lấy \((1)+(2)\Rightarrow A\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)
Vậy \(A_{\max}=1\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=1\)
Câu 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1}=4(*)\)
(do \(x+y\leq 1\) )
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{1}{4xy}+4xy\geq 2\sqrt{\frac{4xy}{4xy}}=2(**)\)
\(x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 1\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{4xy}\geq \frac{5}{4.\frac{1}{4}}=5(***)\)
Cộng \((*)+(**)+(***)\Rightarrow B\geq 4+2+5=11\)
Vậy \(B_{\min}=11\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Cho y > x > 0 và \(\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{10}{3}\)
Tính giá trị của biểu thức \(M=\frac{x-y}{x+y}\)
Ta có :\(\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{10}{3}\Rightarrow3x^2+3y^2=10xy\)
\(\Rightarrow M^2=\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{3x^2-6xy+3y^2}{3x^2+6xy+3y^2}=\frac{10xy-6xy}{10xy+6xy}=\frac{4xy}{16xy}=\frac{1}{4}\)
Vậy M=\(\frac{1}{4}\)
P=(\(\dfrac{x^2}{x^2-y^2}+\dfrac{y\left(x+y\right)}{x^2-y^2}\)):\(\dfrac{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x^4-y^4\right)}\)
P=\(\dfrac{X^2+xy+y^2}{x^2-y^2}\).\(\dfrac{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{x^2+xy+y^2}\)
P=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-(-1)=26
Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương a,b ta có \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2.\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=>\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}\)
suy ra \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\).Áp dụng vào bài toán ta có :\(\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\ge\dfrac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\) (Do \(x+y\le1\))
\(P=\dfrac{x-y}{x+y}\)
=> \(P^2=\left(\dfrac{x-y}{x+y}\right)^2=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}\) (*)
Thay x2 + y2 = \(\dfrac{50}{7}xy\) vào (*), ta có:
\(P^2=\dfrac{\dfrac{50}{7}xy-2xy}{\dfrac{50}{7}xy+2xy}=\dfrac{\dfrac{36}{7}xy}{\dfrac{64}{7}xy}=\dfrac{9}{16}\)
=> \(P=\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\sqrt{\left(\pm\dfrac{3}{4}\right)^2}=\pm\dfrac{3}{4}\)
mà y > x > 0
=> P = 0,75
Phương An:hình như bạn bị nhầm thì phải
y>x> 0 => x-y < 0 và x+y > 0 => P < 0 chứ bạn
nếu bình luận thì tag tên mk vào nhé !